Analogia meccanica di media e varianza

Si noti come la formula della media pesata (5.7) ricordi la formula del centro di massa di un corpo esteso, se si pensa che ogni classe posta in $x_k$ abbia una massa $n_k$, ovvero un peso (relativo) $w_k$. Anche la formula (5.6) per dati non raggruppati ha lo stesso significato per il caso di $N$ punti di massa unitaria. Per questa ragione la media aritmetica è spesso chiamata baricentro della distribuzione. Questa osservazione è anche importante per stimare ad occhio la media di dati istogrammati: essa è localizzata nel punto dell'asse delle ascisse rispetto al quale l'istogramma, visto come un corpo rigido bidimensionale, si manterrebbe in equilibrio se sottoposto ad una forza gravitazionale.

Anche la varianza ha una semplice interpretazione meccanica, non essendo altro che il momento di inerzia del corpo rispetto al baricentro, come si vede dalla (5.15).

Da queste analogie meccaniche è possibile ottenere interessanti proprietà della media e della deviazione standard.

1. La media è il valore rispetto al quale è minima la somma dei quadrati degli scarti.
2. Se tutti i punti sono traslati in egual modo anche la media è traslata della stessa quantità.
3. La varianza - e quindi la deviazione standard - è invariante per traslazione.
4. Se tutti i punti vengono moltiplicati per lo stesso fattore di scala, media e deviazione standard variano dello stesso fattore.
5. Il momento di inerzia rispetto al punto $x=0$ è pari al momento di inerzia rispetto al baricentro più il quadrato della posizione del baricentro moltiplicata per la massa totale (unitaria) dei punti sperimentali. Ne segue la seguente propietà:
   

   $$\sum_k w_k x_k^2 = \sum_k w_k (x_k-\overline{x})^2 + \overline{x}^2\sum_kw_k = \sum_k w_k (x_k-\overline{x})^2 + \overline{x}^2\,.$$ (5.17)

   
   
   Se si considerano dati sciolti, ciascuno di massa unitaria, si ottiene
   

   $$\sum_i x_i^2 = \sum_i (x_i-\overline{x})^2 + N \overline{x}^2\,.$$ (5.18)

   
   
   Dalle (5.17) e (5.18) (dividendo quest'ultima per $N$) si ottiene che

   $$\overline{x^2} = (X) + \overline{x}^2\,,$$ (5.19)

   
   
   dove con $\overline{x^2}$ si è indicata la media dei quadrati. Ne segue che

   $$(X) = \overline{x^2} - \overline{x}^2\,.$$ (5.20)

   
   

Queste proprietà possono molto utili per semplificare i calcoli e saranno viste formalmente nel prossimo paragrafo.