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Proprietà di media e varianza

Innanzitutto verifichiamo le proprietà di media e varianza trovate dalle analogie meccaniche, seguendo lo stesso ordine dei punti del paragrafo precedente.
  1. La somma dei quadrati degli scarti rispetto al generico punto $ x$ è pari a $ \sum_i(x_i-x)^2$. Dalla condizione di minimo
    $\displaystyle \frac{d}{dx}\sum_i(x_i-x)^2$ $\displaystyle =$ 0 (5.21)
    $\displaystyle 2\sum_i x_i - 2Nx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0\,,$ (5.22)

    da cui segue che $ x=\sum_i x_i/N = \overline{x}$.
  2. Se $ x^\prime_i = x_i + c$, allora la nuova media sarà
    $\displaystyle \overline{x^\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{N}\sum_i x^\prime_i =
\frac{1}{N}\sum_i (x_i + c)$ (5.23)
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \overline{x} + c\,.$ (5.24)

  3. Analogalmente per la varianza otteniamo

    $\displaystyle \sigma^2(X^\prime) = \frac{1}{N}\sum_i\left( x_i + c - (\overline{x} + c)\right)^2 = \sigma^2(X)\,.$ (5.25)

  4. In modo analogo, è semplice dimostrare le proprietà di media e deviazione standard per un cambiamento di scala e viene lasciato come esercizio;
  5. Infine, la proprietà Var$ (X)=\overline{x^2}-\overline{x}^2$ sarà ripresa nel prossimo paragrafo.
In generale si ha quindi:
$\displaystyle \overline{a x + c}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\,\overline{x} + c$ (5.26)
$\displaystyle \sigma^2(a X + c)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2\sigma^2(X)$ (5.27)
$\displaystyle \sigma(a X + c)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vert a\vert\, \sigma(X)\,.$ (5.28)

Queste proprietà formali possono essere utili nel fare i conti. Infatti:


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Giulio D'Agostini 2001-04-02