next up previous contents
Next: Effetto del raggruppamento in Up: Descrizione quantitativa dei dati Previous: Proprietà di media e   Indice

Valutazione pratica della deviazione standard

Per quanto riguarda il calcolo della deviazione standard, la sua definizione potrebbe far supporre che bisognerebbe trovare prima la media, poi calcolare gli $ N$ scarti $ d_i$, farne il quadrato, e così via. Questa operazione è chiaramente lunga e macchinosa e, anche se effettuata con un calcolatore, richiederebbe di archiviare in memoria tutti i valori di $ x_i$ per poterli utilizzare nel calcolo degli scarti. In realtà è possibile utilizzare una procedura più snella utilizzando la proprietà del punto 5 del paragrafo 5.5, che ridimostriamo come esercizio:
$\displaystyle \sigma^2(X)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{N}\sum_i(x_i-\overline{x})^2$ (5.29)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{N}\sum_i\left(x_i^2 -2\overline{x}x_i
+\overline{x}^2\right)$ (5.30)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{N}\left(
\sum_i x_i^2 - 2\overline{x}\sum_i x_i
+ N \overline{x}^2
\right)$ (5.31)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sum_i x_i^2}{N} - 2\overline{x}^2 + \overline{x}^2$ (5.32)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overline{x^2} - \overline{x}^2\,,$ (5.33)

dove è stata indicata con $ \overline{x^2} = \sum_i x_i^2/N$ la media dei quadrati. Quindi si è trovato che ``la varianza è pari alla media dei quadrati meno il quadrato della media''. Ricordandosi che il peso statistico dell'$ i$-mo evento è pari a $ w_i=1/N$ si vede come la quantità $ \frac{\sum_i x_i^2}{N}=\sum_i w_ix_i^2$ è pari al momento di inerzia della distribuzione rispetto all'origine delle ascisse, come era già stato discusso nel paragrafo 5.5

È quindi preferibile calcolare, contemporaneamente a $ \sum_i x_i$ anche $ \sum_i x_i^2$ e dalle (5.33) ottenere media e varianza. Questa è la tecnica utilizzata anche nei programmi al calcolatore e nelle calcolatrici tascabili con funzioni statistiche. In queste ultime appositi tasti, generalmente contrassegnati da $ \sum x$ e $ \sum x^2$, permettono di leggere il valore raggiunto dopo che è stato inserito l'$ i$-mo dato. Queste funzioni possono tornare utili per calcolare valori parziali e totali di media e deviazione standard di una lunga serie di misure senza dover inserire di nuovo tutti i numeri. Infatti le sommatorie parziali possono essere annotate e sommate fra di loro per combinare vari gruppi di dati. Questo è particolarmente importante quando si ha una lunga serie di valori: è preferibile annotare di tanto in tanto i risultati parziali in modo da non dover ricominciare da capo se si commette un errore.


Tabella: Calcolo dettagliato di medie e varianze dai dati di conteggio per 3 secondi (tabella 4.1).
$ i$ $ N$ $ \sum x$ $ \sum x^2$ $ \overline{x} $ $ \overline{x^2}$ $ \sigma $
1-50 50 24 42 0.48 0.84 0.85
51-100 50 36 60 0.72 1.20 0.83
1-100 100 60 102 0.60 1.02 0.81



Come esempio consideriamo i dati del contatore per 3 secondi e valutiamo media e deviazione standard della distribuzione e delle due distribuzioni formate dividendo i dati in due campioni. I risultati sono in tabella 5.2. Per l'intero campione svolgiamo in dettaglio i conti
$\displaystyle \sum x$ $\displaystyle \equiv$ $\displaystyle \sum_k n_kx_k =
56\cdot 0 + 32\cdot 1 + 9\cdot 2 + 2\cdot 3 + 1\cdot 4 = 60$  
$\displaystyle \sum x^2$ $\displaystyle \equiv$ $\displaystyle \sum_k n_kx_k^2=
56\cdot 0 + 32\cdot 1 + 9\cdot 4 + 2\cdot 9 + 1\cdot 16 =102$  
$\displaystyle \overline{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sum x}{N} = 0.60$  
$\displaystyle \overline{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sum x^2}{N} = 1.02$  
$\displaystyle \sigma^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1.02 - 0.60^2 = 0.66\,.$ (5.34)


next up previous contents
Next: Effetto del raggruppamento in Up: Descrizione quantitativa dei dati Previous: Proprietà di media e   Indice
Giulio D'Agostini 2001-04-02