Tempi di attesa per ottenere un numero prestabilito di conteggi

Nei paragrafi precedenti ci siamo interessati al numero di conteggi registrati con un contatore a scintillazione avendo fissato il tempo di lettura. È stata invece persa l'informazione sulla sequenza temporale degli eventi. Prima di passare alla misura, cerchiamo di farci un'idea di cosa ci aspettiamo in base ai dati della tabella 1.1.

• Il valore di radioattività è `intorno' a 0.18 conteggi al secondo, ovvero abbiamo in media un conteggio ogni 5.6 secondi.
• Non ci dobbiamo attendere che i conteggi arrivino cadenzati al ritmo di uno ogni 5.6 secondi, sia perché è difficile immaginare un meccanismo che controlli la regolarità dell'arrivo di particelle radioattive provenienti da più sorgenti, sia perché i dati sperimentali mostrano grandi fluttuazioni dei tempi di arrivo intorno al tempo medio di attesa.
• La tabella 1.1 mostra come spesso (11 volte su 100), anche aspettando 12 secondi (oltre il doppio del tempo medio di attesa), non si sia verificato nessun evento. A volte invece (qualche volta ogni cento) in un tempo circa la metà di quello medio di attesa si verificano 3 o 4 eventi.
• Si noti inoltre come su tempi lunghi il processo in qualche modo si regolarizzi: sebbene la variazione fra il minimo e il massimo numero di conteggi aumenta con il tempo di misura, il tempo medio per ogni singola misura varia molto meno, per esempio va da 3.8 a 9.1 secondi (78 e 33 eventi in 300 secondi) nei conteggi registrati in 300 s.

Essendoci convinti che ci aspettiamo un evento ogni 5.6 secondi, anche se non ci dobbiamo sorprendere se a volte bisogna attendere molto di più o se altre volte arrivano raffiche di eventi quasi simultanei, poniamoci ancora delle domande.

1. Supponiamo di dividere il tempo di attesa in intervallini di un secondo e di dover fare una scommessa in cui vince chi indovina l'intervallino esatto in cui si verificherà il conteggio, su quale intervallino converrà puntare? Sul sesto, ovvero quello che è quasi centrato sul tempo medio di attesa? Detto in altre parole, è più probabile misurare tempi compresi fra 5 e 6 secondi che misurare tempi compresi fra 0 e 1 secondi, fra 1 e 2, etc.? O, ancora, è più probabile osservare valori compresi fra 0 e 5.6 secondi o valori maggiori di 5.6 secondi?
2. Cosa ci dobbiamo aspettare se ci interessiamo invece al tempo di attesa per registrare $k$ conteggi? È ragionevole pensare che il tempo medio di attesa sia $k$ volte quello necessario per il primo conteggio? Come saranno le fluttuazioni intorno a tale valore?

Anche per queste domande cerchiamo delle risposte intuitive:

1. il tempo di attesa non può essere negativo, ma può essere arbitrariamente grande (anche se le grandissime fluttuazioni sembrano molto poco probabili). Quindi il numero di intervallini è infinito. Ma essendo la media nel sesto intervallino, ci aspettiamo che gli intervallini al si sotto di esso si verifichino con frequenza superiore di quelli al di sopra in modo tale da compensare, nel calcolo della media, i grandi tempi di questi ultimi.

   
   

   Tabella: Tempi di attesa per osservare un numero prefissato di eventi. Questi dati simulano quelli ottenibili con contatore che lavori nelle stesse condizioni di quello con cui sono stati ottenuti i dati di tabella 1.1.

   1 conteggio
   6.9	6.2	4.8	12.1	17.2	6.6	10.5	3.0	17.2	0.2
   1.5	0.6	11.5	1.7	1.7	3.8	2.9	5.5	4.1	8.1
   2.5	6.4	0.1	0.3	4.2	2.3	0.2	8.0	5.3	2.4
   1.8	2.9	9.6	0.4	9.6	2.6	10.4	5.3	10.2	0.4
   17.3	0.7	3.1	11.0	9.0	1.0	5.1	1.8	6.6	2.8
   8.1	11.3	0.2	0.0	8.0	1.4	4.1	2.4	6.7	3.8
   15.0	2.1	8.9	0.0	0.3	5.9	2.6	1.2	3.8	20.6
   1.0	3.4	0.9	5.0	1.8	2.6	10.0	11.4	7.8	4.4
   12.6	1.9	0.8	8.0	3.8	18.8	0.6	6.2	0.9	5.7
   3.2	4.6	2.9	0.6	2.7	5.7	0.2	14.4	8.8	1.6
   2 conteggi
   1.7	17.6	26.1	2.6	9.7	30.5	19.7	14.2	17.1	9.9
   5.1	19.2	13.5	9.8	6.6	7.8	7.1	16.3	15.9	25.2
   9.9	4.1	12.0	14.8	1.1	28.0	33.8	5.8	34.3	17.1
   11.5	1.8	12.4	14.0	2.7	2.2	16.2	7.6	0.6	9.0
   11.8	15.2	17.1	18.5	29.5	6.1	7.1	7.2	9.3	15.6
   5 conteggi
   42.5	15.3	12.0	40.6	38.9	25.8	18.1	36.8	30.1	30.9
   28.2	21.6	35.8	7.6	18.8	20.6	36.8	28.9	17.9	16.1
   38.4	19.2	25.5	43.3	16.8	16.8	48.5	21.2	30.2	24.8
   36.7	43.1	35.1	40.6	28.4	51.0	34.4	52.1	35.3	34.8
   39.0	40.6	24.5	20.5	27.7	33.4	52.2	13.3	39.4	11.6
   10 conteggi
   61.0	36.0	55.6	47.6	28.4	66.8	64.5	31.4	29.7	49.9
   67.5	42.9	62.3	57.2	70.1	73.1	25.8	46.9	43.4	47.6
   55.6	45.1	49.9	47.1	103.9	68.5	61.1	83.7	103.3	63.8
   24.5	54.6	67.9	32.9	68.8	60.2	36.9	70.5	54.1	50.4
   35.2	85.7	50.7	45.9	89.7	51.4	64.4	109.2	58.7	76.0
   20 conteggi
   115.7	136.7	86.7	145.2	160.9	121.0	110.9	98.8	94.2	87.3
   117.9	110.2	124.1	86.6	146.2	120.2	114.4	124.8	64.7	107.1
   129.7	108.4	115.7	120.8	141.8	157.7	168.7	96.0	101.1	118.4
   82.1	80.0	98.8	140.5	78.2	128.6	150.1	114.4	83.5	120.7
   118.5	122.4	113.3	108.7	99.6	141.8	149.8	131.0	136.7	146.8
   50 conteggi
   346	228	327	228	209	297	285	291	245	280
   284	272	325	201	286	301	298	335	233	346
   294	296	267	254	240	251	297	244	344	267
   190	265	267	249	225	238	266	286	285	235
   227	305	246	246	296	253	255	286	208	285
   100 conteggi
   590	669	580	586	498	513	629	537	579	568
   627	542	493	527	459	518	629	518	586	619
   516	617	548	586	594	524	564	551	515	558
   549	627	570	575	490	626	533	491	489	529
   488	663	608	545	550	652	574	560	623	623

   
   Anche se da questi argomenti non si può concludere l'andamento decrescente della probabilità in funzione del numero di intervallino (come verificheremo), si può senz'altro affermare che è più probabile misurare tempi inferiori che tempi superiori a quello medio di attesa (anticipando il risultato esatto: 63% contro 37%);
2. è abbastanza naturale che il tempo medio di attesa debba essere proporzionale al numero di conteggi. Più complicato è fare affermazioni intuitive sulle fluttuazioni dei tempi intorno alla media e sulle probabilità dei vari intervallini. Ciò nonostante sembra abbastanza naturale attendersi che alla regolarizzazione del processo per grandi tempi di misura se ne debba accompagnare una analoga per un gran numero di conteggi. Per esempio, dalla tabella 1.1 per 300 s si vede come fluttuazioni oltre il $\pm 30\,\%$ del numero tipico (intorno a 50) siano rare. Quindi in media bisogna aspettare circa 300 s per osservare una cinquantina conteggi, ma dovranno essere veramente molto rare le fluttuazioni di oltre il doppio o di meno della metà di tale tempo, cosa invece frequentissima nel caso di un solo conteggio.

I dati sperimentali (simulati) sono riportati in tabella 1.2. Si notino le enormi fluttuazioni per attendere il primo conteggio e le minori fluttuazioni relative per registrare 100 conteggi (per un conteggio sono state riportati più valori ``misurati'' per meglio capirne il comportamento).

Per comprendere le ragioni della migliore stabilità per grandi conteggi è importante la seguente osservazione: essendo il fenomeno che determina un conteggio del tutto casuale, si ha la stessa distribuzione di tempi di attesa sia che si faccia partire il cronometro manualmente a tempi arbitrari, sia che si prenda per ``start'' del cronometro l'istante di arrivo dell'ultimo evento. Quindi il tempo di attesa di $n$ eventi è pari alla somma di $n$ tempi di attesa di un evento, ognuno indipendente dall'altro. Per questo motivo le enormi fluttuazioni intorno al tempo di attesa medio tenderanno a compensarsi, ``in media'', ma non necessariamente!