Grafici lineari: stima grafica dei parametri della retta

Figura: Grafici dell'allungamento in funzione della massa applicata alla molla e del suo periodo di oscillazione in funzione della radice quadrata della massa. I cerchietti indicano i punti utilizzati per il calcolo dei parametri della retta.

La figura 6.3 mostra i dati della prima serie di misure di tabella 2.5 riportati su opportuni grafici. Il primo grafico mostra l'allungamento, espresso in centimentri, in funzione della massa applicata espressa in chilogrammi. Il secondo mostra invece il periodo di oscillazione, espresso in secondi, in funzione della radice quadrata della massa applicata espressa in unità di radice quadrata di chilogrammo.

Entrambi i grafici mostrano, al di sopra di una massa critica, un andamente lineare dei punti. Questo indica che le relazioni (2.1) e (2.2) sono ragionevolmente soddisfatte. È quindi possibile tracciare la retta che meglio passa per i punti, determinando per via grafica i parametri di tale andamento e associarli, attraverso le (2.1-2.2) alle grandezze fisiche di interesse ($k$ e $g$).

Definiamo la procedura in via generale pensando a due quantità $x$ e $y$ legate dalla relazione

$$y = m x + c\, .$$ (6.3)

$m$ e $c$ sono rispettivamente il coefficiente angolare (o pendenza, in inglese ``slope'') e l'intercetta della retta. Per analizzare i dati ci si basa sul seguente modello:

• l'equazione (6.3) è quella ipotizzata dai valori veri delle grandezze fisiche.
• i punti sperimentali non giacciono tutti sulla retta - nel senso geometrico - a causa degli inevitabili errori di misura;
• la migliore stima della retta vera è quella che passa meglio per i punti. Per ora la sua valutazione sarà effettuata ad occhio cercando, mediante un righello trasparente, di trovare la retta che meglio approssima globalmente i punti.

Trovata la retta che meglio si adatta ai dati i parametri $m$ e $c$ sono determinati considerando due punti, in principio ``arbitrari'', appartenenti alla retta. Chiamando i due punti $P_1=(x_1,y_1)$ e $P_2=(x_2,y_2)$ si può scrivere l'equazione parametrica della retta

$$\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \ \Longrightarrow\ y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x + y_1-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x_1\,,$$ (6.4)

ovvero

$$m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ (6.5)

$$c = y_1-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x_1 = y_1 - mx_1\,.$$ (6.6)

È da notare che, mentre la (6.5) è effettivamente usata per la stima di $m$, per valutare l'intercetta si preferisce determinare direttamente, per via grafica, il valore per il quale la retta interseca l'asse delle ordinate (a meno che lo zero dell'asse delle ascisse sia fuori scala):

$$c = y(x=0)\,.$$ (6.7)

Per quanto riguarda la scelta dei punti per valutare $m$ (ed eventualmente $c$) si seguono questi criteri:

• i punti vanno scelti sulla retta e non in corrispondenza dei valori sperimentali (a meno che per un puro caso un punto sperimentale non giaccia esattamente sulla retta). Infatti, nonostante intuitivamente si possa pensare che un punto misurato sia ``più vero'' di un generico punto sulla retta, i punti della retta tengono conto simultanemente di tutti i punti misurati e quindi sono meno sensibili alle possibili fluttuazioni legate all'errore della singola misura;
• i punti vanno scelti in modo che siano ben leggibili e quindi preferibilmente in prossimità dell'incrocio di due linee della carta millimetrata;
• al fine di ridurre l'incertezza dovuta alla lettura dei punti è opportuno scegliere questi molto lontani fra di loro. Infatti, facendo riferimento alla (6.5), ci si può facilmente convincere che il numero di cifre significative su $m$ ottenibili con il metodo grafico è legata al numero di cifre significative del numeratore e del denominatore. Queste ultime dipendono a loro volta dal valore assoluto di $y_2-y_1$ e di $x_2-x_1$ (si provi a considerare il limite di due punti molto vicini);