Carta semilogaritmica

Tabella: Misure di tensione durante la scarica di un condensatore.

$t$	$V$	$t$	$V$
(ms)	(mV)	(ms)	(mV)
2.0	411	12.0	15
4.0	211	14.0	8
6.0	108	16.0	4
8.0	56	18.0	2
10.0	29	20.0	1

Figura: Misure di scarica di un condensatore riportate su carta lineare.

Figura: Misure di scarica di un condensatore riportate su carta semilogaritmica.

Supponiamo che due variabili siano legate da una relazione esponenziale

$$y = ae^{bx}\,.$$ (6.15)

Esempi di fenomeni che seguono tale legge sono: decadimento radioattivo; accrescimento di colonie di batteri; scambio di calore di un corpo con l'ambiente circostante; carica e scarica di un condensatore (un esempio di quest'ultimo è mostrato nella tabella 6.2 e nella figura 6.5, dove sono riportati i valori di tensione ai capi del condensatore in funzione del tempo.) Essi hanno tutti in comune la caratteristica che il tasso istantaneo di variazione temporale di una grandezza è proporzionale al valore della grandezza in quel determinato istante:

$$\frac{dx}{dt} = bx\,.$$ (6.16)

Se dividiamo per $a$ entrambi i membri della (6.15) e ne prendiamo il logaritmo naturale otteniamo

$$\ln{\frac{y}{a}} = bx\,,$$ (6.17)

la quale può essere riscritta come

$$\ln y = \ln a + bx\,.$$ (6.18)

se $y$ e $a$, grandezze omogenee, sono prese con le stesse unità di misura. Si ricorda a tale proposito che gli argomenti di logaritmi ed esponenziale devono essere adimensionali e quindi la 6.18 andrebbe più correttamente scritta come

$$\ln{\frac{y}{U_y}} = \ln\frac{a}{U_a} + bx\,$$ (6.19)

dove con $U$ è stata indicata l'unità di misura. Quindi riportando sulle ascisse i valori della variabile $x$ e sulle ordinate i valori di $\ln y$ si ottiene un andamento lineare.

La carta semilogaritmica (o semplicemente ``semilog''), con l'asse delle ordinate proporzionale al logaritmo del valore, agevola tale compito in quanto risparmia il calcolo dei logaritmi.