Carta doppiologaritmica

Figura: Dati della molla. Grafico su carta doppiologaritmica del periodo di oscillazione in funzione della massa applicata.

Un'altra importante classe di leggi fisiche comprende quelle descritte da leggi di potenza

$$y = \beta x^\alpha\,.$$ (6.27)

Esempi di queste sono la dipendenza della forza di gravità dalla distanza ($\alpha=-2$), la pressione di un gas perfetto in funzione del volume a temperatura costante ($\alpha=-1$), l'energia cinetica di un punto materiale in funzione della velocità ($\alpha=2$), e così via.

Una legge di potenza può essere linearizzata prendendo i logaritmi di entrambi i membri della (6.27):

$$\log{y} = \log{\beta} + \alpha\log{x}\,.$$ (6.28)

In questo caso la relazione è formalmente la stessa qualsiasi sia la base dei logaritmi. C'è però da prestare un po' più di attenzione alle dimensioni delle grandezze. Se chiamiamo $U_x$ e $U_y$ le dimensioni di $x$ e di $y$, possiamo riscrivere la (6.27)

$$\frac{y}{U_y} = \frac{\beta U_x^\alpha}{U_y}\, \frac{x^\alpha}{U_x^\alpha}$$ (6.29)

$$\log{\frac{y}{U_y}} = \log{\frac{\beta U_x^\alpha}{U_y}} + \log{\frac{x^\alpha}{U_x^\alpha}}\,.$$ (6.30)

Anche se quest'ultima relazione è quella che tiene conto correttamente delle dimensioni - e da cui segue che le dimensioni di $\beta$ sono $U_y/U_x^\alpha$ - in genere si utilizza la (6.28), sottintendendo che le dimensioni siano aggiustate correttamente.

In analogia alla carta semilog di cui abbiamo parlato esiste la carta millimetrata doppiologaritmica (o ``log-log'').

Una volta tracciata la retta che meglio approssima i dati sperimentali i parametri $\alpha$ e $\beta$ si determinano in modo simile a quanto visto precedentemente:

• la potenza $\alpha$ è data dal coefficiente angolare della retta;

  $$\alpha = \frac{ \log{y_2}-\log{y_1} }{ \log{x_2}-\log{x_1}} = \frac{\log{y_2/y_1}}{\log{x_2/x_1}}$$ (6.31)

  
  

• il valore numerico del coefficiente $\beta$ è dato dall'intercetta, ovvero quello ottenuto in corrispondenza a $\log{x}=0$ (o per essere precisi $\log{x/U_x}=0$), ovvero per $x=1$. Delle dimensioni di $\beta$ si è parlato precedentemente. Notiamo per inciso che non ha invece senso il valore 0 della variabile su scala logaritmica: dove andrebbe collocato?
• anche in questo caso è utile ricavarsi una formula che dia il coefficiente $\beta$ quando il valore $\log{x}=0$ è fuori scala:
  

  $$\log{\beta} = \log{y_1} - \frac{\log{y_2}-\log{y_1} }{ \log{x_2}-\log{x_1}}\log{x_1}$$ (6.32)

  $$\beta = y_1 x_1^{-\alpha}\,.$$ (6.33)

  
  

Figura: Esempio di recenti dati risultati di un esperimento di Fisica delle Particelle Elementari. Senza entrare nel significato fisico delle misure, si notino: l'uso di scale logaritmiche per riportare valori che si estendono su più ordini di grandezza; la convenzione standard di indicare le grandezze fisiche e le unità di di misura; i diversi simboli per indicare differenti misure e predizioni teoriche; le barre di incertezza sulle quantità riportata sulle ordinate. Le barre orizzontali in questo caso non rappresentano invece incertezza, ma l'intervallo dei valori delle ascisse nel quale è stato misurato il valore riportato sulle ordinate.

Come primo esempio di applicazione della carta doppio logaritmica torniamo all'esperienza della molla e verifichiamo che l'andamento del periodo di oscillazione in funzione dellla massa segua una legge di radice quadrata, ovvero $\alpha=1/2$. Questa verifica è particolarmente interessante in quanto dalla figura 6.4 potrebbe sembrare che anche una legge lineare descriva altrettanto bene i dati sperimentali.

Il grafico di figura 6.8 mostra che i punti sperimentali sono ben allineati e i parametri della legge di potenza sono:

$$\alpha = \frac{\log{0.93}-\log{0.405}} {\log{1.00}-\log{0.200}} \approx 0.52$$ (6.34)

$$\beta/U_\beta \approx 0.93\,.$$ (6.35)

Quindi la potenza dell'andamento $T=\beta M^\alpha$ è prossimo a 0.5 e quindi la (2.2) è da ``ritenersi'' verificata Per mostrare come un andamento lineare non possa descrivere i dati sperimenatli nella figura 6.8 è mostrata (linea tratteggiata) anche una retta avente $\alpha=1$ e passante fra i punti.