Proprietà formali di varianza e deviazione standard

È interessante osservare che la varianza può essere riscritta come:

$$(X) = [(X-\mu)^2] = [X^2 + \mu ^2 -2\, \mu \, X]$$

$$= (X^2) - 2\, \mu \, (X) + \mu^2$$

$$= (X^2) - 2\, \mu^2 +\mu^2$$

$$= (X^2) - \mu^2\,.$$ (6.38)

Questa espressione permette di memorizzare l'espressione della varianza come ``valore atteso del quadrato meno il quadrato del valore atteso'' (o ``media dei quadrati meno il quadrato della media'' - intendendo come al solito ``media pesata''). Essa rappresenta inoltre il modo più comodo e più usato per calcolare la varianza, come vedremo nel seguito.

Abbiamo visto come si comporta il valore atteso della variabile casuale sotto una trasformazione lineare. Per la varianza abbiamo:

$$(a\, X+b) = \left( \left[(a\, X+b)- \mbox{E}(a\, X+b)\right]^2\right)$$

$$= \left(\left[a\, X-a\,\mbox{E}(X)\right]^2\right)$$

$$= a^2\, \left(\left[X-\mbox{E}(X)\right]^2\right)$$

$$= a^2\, (X)\,;$$ (6.39)

$$\sigma(a\, X+b) = \vert a\vert\, \sigma(X)\,.$$ (6.40)

Come era da aspettarsi, la varianza non è un operatore lineare, ovvero Var$(a\, X+b)\ne a\,$   Var$(X)+b$. In particolare:

• se si effettua una semplice traslazione degli assi ($a=1$, $b\ne 0$) la deviazione standard rimane invariata;
• la deviazione standard si comporta linearmente in caso di cambiamento di scala.

Si noti inoltre come la (6.38) sia l'analoga del teorema di Huygens-Steiner della meccanica, avendo E$(X^2)$ il significato di momento di inerzia rispetto all'origine ed essendo unitaria la massa totale del sistema.

Per completezza, anche se non ne faremo uso nelle applicazione, accenniamo al fatto che la radice quadrata positiva di E$(X^2)$ è chiamata valore quadratico medio, in inglese root mean square, simbolo r.m.s. Difatti, del tutto in generale, il nome ``quadratico medio" indica la radice quadrata di medie di quadrati (si faccia attenzione a non confondere con ``media dei quadrati''). Quindi

r.m.s.$$= \sqrt{\mbox{E}(X^2)}\,.$$

Ne segue che

r.m.s.$$^2 = \sigma^2 + \mu^2\,.$$