Processo di Bernoulli

La semplicità della distribuzione di Bernoulli permette di calcolare la varianza in due modi diversi, come media (pesata) dei quadrati degli scarti o come media dei quadrati meno il quadrato della media:

$$1. (X) = [(X-\mu)^2]$$

$$= (0-p)^2(1-p)+(1-p)^2p$$

$$= p\,(1-p)$$ (6.45)

$$2. (X) = (X^2) - \mu^2$$

$$= 0^2\cdot(1-p)+1^2\cdot p - p^2 = p-p^2$$

$$= p\,(1-p)\,,$$ (6.46) ovvero

$$\sigma(X) = \sqrt{p\,(1-p)} = \sqrt{p\,q}.$$ (6.47)

L'incertezza di previsione è massima quando $p=0.5$ e, in tale caso, assume il valore della previsione stessa. Per $p$ che tende a 0 o a 1 la deviazione standard tende a 0. Per quanto riguarda il coefficiente di variazione abbiamo:

$$v = \frac{\sqrt{p\,(1-p)}}{p} = \sqrt{\frac{1-p}{p}} =\sqrt{\frac{q}{p}}\,.$$ (6.48)

Esso indica che l'incertezza di previsione relativa tende a zero per $p$ prossimo a 1, mentre diverge come $1/\sqrt{p}$ per $p$ molto piccolo.