Gioco della roulette

Esaminiamo soltanto i caso di: rosso/nero e puntata su un numero. $V$ indica la variabile ``vincita'' e $S$, come nel paragrafo 2.14, la puntata:

• rosso/nero:
  

  $$(V) = \frac{18}{37} \times 2\, S + \frac{19}{37}\times 0 = \frac{36}{37}\, S\, ;$$

  $$(V^2) = \frac{18}{37} \times (2\, S)^2 + \frac{19}{37}\times 0^2 = \frac{72}{37} \, S^2\, ;$$

  $$(V) = 0.999\, S^2\,;$$

  $$\sigma(V) \approx S\,.$$

  
  

• numero singolo:
  

  $$(V) = \frac{1}{37} \times 36\, S + \frac{36}{37}\times 0 = \frac{36}{37}\, S\, ;$$

  $$(V^2) = \frac{1}{37} \times (36\, S)^2 +\frac{36}{37}\times 0^2 = \frac{1296}{37} \, S^2\,;$$

  $$(V) = 34\, S^2\,;$$

  $$\sigma(V) \approx 6\, S\,.$$

  
  

Si vede ancora una volta come speranza matematica e varianza della vincita caratterizzano sinteticamente la strategia del gioco. Giocare a rosso/nero conduce a un gioco più ``tranquillo''.

A volte si sente parlare di ``sistemi per vincere'' alla roulette o al lotto giocando aumentando la puntata ad ogni scommessa successiva. Una ``strategia classica'' per la roulette è quella di puntare sempre sullo stesso colore, raddoppiando la puntata ad ogni giocata perché ``è estremamente probabile che l'altro colore esca tante volte di seguito'' (il ché è vero a priori, come è vero che ciascuna altra sequenza ha la stessa probabilità, ma non ha niente a che vedere con la probabilità che un colore esca alla $n+1$-ma giocata se esso è già uscito nelle $n$ giocate precedenti).

Cerchiamo di capire cosa non va in questa strategia^6.15. Innanzitutto è chiaro che in caso di vincita non si fa altro che recuperare la posta iniziale, mentre c'è un rischio minimo (valutato a priori) di perdere il totale delle puntate se ad un certo punto si è costretti a smettere di giocare. Immaginiamo di puntare inizialmente $A=1000$ lire e di avere disponibilità finanziarie (o limiti imposti dal banco) per giocare $n$ volte. Per semplificare i conti assumiamo che la roulette non abbia lo ``zero'' (il quale essendo né pari né dispari, né rosso né nero, favorisce il banco). Cerchiamo di analizzare il problema in termini di variabile casuale guadagno netto $G$:

• se il colore giusto esce entro $n$ estrazioni si vince $A$ con probabilità
  $$P(G=A) = 1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\,;$$

• se invece il colore non esce ci si deve ritirare perdendo tutto quanto era stato puntato fino a quel momento, per un ammontare di
  $$A + A\times 2 + \cdots +A\times 2^{n-1} = (2^{n}-1)\, A\,.$$
  Quindi:
  $$P(G=-(2^{n}-1)\cdot A) = \left(\frac{1}{2}\right)^n\,.$$

La previsione di guadagno è

$$(G) = A\cdot P(A) - (2^{n}-1)\,A\cdot P\left(-(2^{n}-1)\cdot A\right)$$

$$= A\cdot \left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right) - (2^{n}-1)\,A\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n =\,0\,,$$

in quanto avevamo escluso lo zero che favorirebbe il banco. Naturalmente, consistendo il gioco in altissima probabilità di bassissimi guadagni e di bassissima probabilità di altissime perdite la deviazione standard è molto alta e cresce con $n$ (il conto viene lasciato per esercizio). Questo è anche il motivo per cui è possibile incontrare molte persone disposte a giurare che la strategia ``funziona (e che quelli che hanno perso il massimo perdibile erano semplicemente sfortunati o non hanno saputo cominciare ad applicare la strategia quando il colore ``era maturo''...).

Tabella: ``Piano di gioco indicativo speculativo'' raccomandato da ``Il manuale del Lotto''. Nella tabella originale si precisa che ``dalla vincita va detratto il 3%''. Le ultime due colonne mostrano la variabile casuale $G$ = ``guadagno netto'' (al netto del 3%) con la rispettiva probabilità. Tutti gli importi sono in migliaia di lire.

giocata	Punt.	Punt.	Vincita	Vincita	$G$	$P(G)$
vittoriosa	sett.	tot.	lorda	netta		(%)
1$^a$	2	2	22.470	20.470	19.8	5.6
2$^a$	2	4	22.470	18.470	17.8	5.2
3$^a$	2	6	22.470	16.470	15.8	5.0
4$^a$	3	9	33.700	24.700	23.7	4.7
5$^a$	3	12	33.700	21.700	20.7	4.4
6$^a$	4	16	44.900	28.900	27.6	4.2
7$^a$	5	21	56.150	35.150	33.5	3.9
8$^a$	6	27	67.410	40.410	38.4	3.7
9$^a$	7	34	78.700	44.410	42.2	3.5
10$^a$	9	43	101.000	58.000	55.0	3.3
11$^a$	11	54	123.470	69.470	65.8	3.1
12$^a$	13	67	145.940	78.940	74.6	3.0
13$^a$	16	83	179.700	96.700	91.3	2.8
14$^a$	19	102	213.470	111.467	105.1	2.6
15$^a$	23	125	258.300	133.300	125.6	2.5
16$^a$	28	153	314.580	161.580	152.1	2.4
17$^a$	35	188	393.100	205.100	193.3	2.2
18$^a$	45	233	505.675	272.575	257.4	2.1
19$^a$	55	288	617.925	329.925	311.4	2.0
20$^a$	70	358	786.200	428.200	404.6	1.9
21$^a$	90	448	1010.800	562.800	532.5	1.8
22$^a$	110	558	1235.850	677.850	640.8	1.7
23$^a$	140	698	1572.900	874.900	827.7	1.6
24$^a$	180	878	2022.300	1144.300	1083.6	1.5
altrimenti	-	878	0	-878	-878.0	25.4