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Previsione della distribuzione statistica subordinata all'incerteza su $ \lambda $

Vediamo ora come l'incertezza su $ \lambda $ si propaga sull'incertezza sui futuri esiti, e quindi sulla possibile distribuzione statistica che sarà osservata. Concentriamoci, tanto per fare un esempio, sul valore $ D=2$ (due morti). Subordinatamente all'ipotesi $ \lambda=\lambda_j$ si calcola:
$\displaystyle P(D=2\,\vert\,{\cal P}_{\lambda_i})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(2\,\vert\,{\cal P}_{\lambda_j}) = \frac{e^{-\lambda_i}\,\lambda_i^2}{2}\,.$  

Pesando le varie ipotesi con le loro probabilità (legge delle alternative, vedi paragrafo 4.9.2):
$\displaystyle P(D=2)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{j=1}^{n_\lambda} P(D=2\,\vert\,{\cal P}_{\lambda_j})\cdot
P(\lambda=\lambda_j)\,.$  

Scrivendo le probabilità in termini delle funzioni di probabilità otteniamo
$\displaystyle p_2 \equiv P(D=2\,\vert\,$dati$\displaystyle ,I_\circ)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{j=1}^{n_\lambda} f(2\,\vert\,{\cal P}_{\lambda_j})\cdot
f(\lambda_j\,\vert\,$dati$\displaystyle ,I_\circ)\,.$  

L'espressione generale della distribuzione di probabilità di $ D$ diventa:
$\displaystyle p_i=f(d_i\,\vert\,$dati$\displaystyle ,I_\circ)
= \sum_{j=1}^{n_\lambda} \frac{e^{-\lambda_j}\,\lambda_j^i}{i!}
f(\lambda_j\,\vert\,$dati$\displaystyle ,I_\circ)\,.$      

*** per fare le cose bene si dovrebbe introdurre la multinomiale ***


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Giulio D'Agostini 2001-04-02