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Legge delle alternative

Ricordiamo la formula che esprime la probabilità di un certo evento $ E$ come somma delle probabilità di tutti i prodotti logici dell'evento $ E$ con ciascuno degli eventi di una classe completa (vedi 4.6):

$\displaystyle P(E) = \sum_{i=1}^nP(E\cap H_i)$   se$\displaystyle \ \left\{\! \begin{array}{l} H_i \cap H_j = \emptyset\ \ \ \ \forall i\ne j \\  \bigcup_{i=1}^n H_i = \Omega \end{array}\right.$ (4.25)

Applicando a ciascuno dei prodotti logici il teorema delle probabilità composte otteniamo

$\displaystyle P(E)= \sum_i P(H_i)\cdot P(E\,\vert\,H_i)\,,$ (4.26)

conosciuta come legge delle alternativa o formula di disintegrazione (si incontra anche la denominazione formula delle probabilità totali, ma non va confusa con l'omonima (4.5)!).

Anche se la relazione è una semplice conseguenza della (4.6) e del teorema delle probabilità composte, essa è molto importante sia per le applicazioni che per una migliore ``visualizzazione'' della probabilità condizionata. Infatti:

Figura: Legge delle alternative (o formula di disintegrazione) nel punto di vista dei percorsi alternativi che conducono ad un certo evento.
\begin{figure}\centering\epsfig{file=fig/dago63.eps,width=8.5cm,clip=}\end{figure}


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Giulio D'Agostini 2001-04-02