Legge della moltiplicazione

Le relazioni (4.16) e (4.21) possono essere estese al caso di $n$ eventi, ottenendo la legge della moltiplicazione delle probabilità, dall'espressione più generale

$$P(E_1 \cap E_2 \cap \cdots \cap E_n) = P(E_1)\cdot P(E_2\,\vert\,E_1) \cdot P(E_3\,\vert\,E_1\cap E_2) \cdots$$

$$\cdot P(E_n\,\vert\,E_1 \cap E_2 \cap \cdots \cap E_{n-1}) \,.$$ (4.22)

In analogia al semplice caso di due eventi, quando si verifica che

$$P(E_1 \cap E_2 \cap \cdots \cap E_n) = P(E_1)\cdot P(E_2)\cdot\cdots\cdot P(E_n)$$ (4.23)

gli $n$ eventi fra di loro indipendenti. Si noti come l'indipendenza fra ciascuna delle coppie di eventi $E_i$ e $E_j$ non implica la 4.23.

Figura: Esempio di probabilità condizionata.

Come esempio di applicazione della (4.22) consideriamo il labirinto della figura 4.4. La probabilità di arrivare al tesoro ($T$) passando prima per il bivio 5 vale (associamo alla biforcazione numero $i$ l'evento $E_i$).

$$P(T\,\vert\,E_1\cap E_2\cap E_3\cap E_4\cap E_5) = P(1)\cdot P(E_2\,\vert\,E_1)\cdot P(E_3\,\vert\,E_1\cap E_2) \cdots$$

$$= 1\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} =\frac{1}{72}\,.$$ (4.24)