Scelta uniforme lungo $F(x)$

Uno dei metodi più universali di estrazione, valido anche per variabili casuali definite in un dominio infinito, fa uso della funzione di ripartizione.

Cominciamo con variabili discrete, ricordandoci della rappresentazione grafica ``a gradini'' della $F(x)$ (vedi figura 6.3). Per ogni valore $x_i$ in cui $X$ è definita, il ``salto'' da un gradino all'altro è pari a $f(x_i)$. Se si estrae un numero casuale $R$ fra 0 e 1 e lo si posiziona lungo l'asse delle ordinate del grafico di $F(x)$ si ha che

• la probabilità che $R$ cada nel salto $i$-mo è proporzionale all'altezza del salto stesso, ovvero a $f(x_i)$;
• se il valore $R$ è compreso nell'intervallo
  $$F(x_{i-1}) < R \le F(x_i)$$
  il gradino è quello in corrisponenza del valore $X=x_i$ (si ricordi infatti che $F(x_i)-F(X_{i-1}=f(x_i)$).

Quindi questa procedura permette di ottenere valori di $X$ la cui probabilità di verificarsi è data dalla distribuzione di interesse.

Per passare alle variabili continue basta pensare al limite di una funzione a gradini, con infiniti gradini talmente ravvicinati e di salto infinitesimo d$F = f(x)\,$d$x$. Ancora una volta si vede come il grado di fiducia con cui i possibili valori di $X$ possono essere sorteggiati è proporzionale a $f(x)$. Così pure, in analogia al caso discreto, si può dire che, se

$$F(x_R) \le R < F(x_R) +$$   d$$F\,,$$

ovvero se

$$F(x_R) = R\,,$$

il gradino infinitesimo è quello in corrispondenza di $x_R$. Questo metodo, applicato alle variabili continue la cui funzione densità di probabilità è integrabile analiticamente e la $F(x)$ facilmente invertibile, è senz'altro il più rapido, in quanto:

$$x_R = F^{-1}(R)\,,$$

ove $F^{-1}(\cdot)$ sta per l'inversa di $F(\cdot)$.