Tempo di attesa del $k$-mo successo

Considerando un processo di Poisson nel dominio del tempo di intensità $r$, si può essere, in generale, interessati alla variabile casuale $T$ ``tempo di attesa affinché si verifichi il $k$-mo successo''. Il caso $k=1$ è quello descritto dall'esponenziale. Consideriamo l'evento $E$ ``il successo $k$-mo si verifica ad un tempo $T>t$''. La richiesta di questo evento corrisponde alla richiesta che entro il tempo $T=t$ si siano verificati al più $k-1$ successi. Quindi, poiché il numero di successi nel tempo $T=t$ è dato da una distribuzione di Poisson di parametro $\lambda=r\,t$, abbiamo:

$$P(E) = f(0\,\vert\,{\cal P}_{r\,t}) + f(1\,\vert\,{\cal P}_{r\,t}) + \cdots + f(k-1\vert{\cal P}_{r\,t}) = F(k-1\,\vert\,{\cal P}_{r\,t})\,.$$

La probabilità che l'ennesimo successo si verifichi entro il tempo $T=t$ è uguale a

$$P_k(T\le t) = 1-P(E)= 1-F(k-1\,\vert\,{\cal P}_{r\,t}$$

$$= 1 -\sum_{x=0}^{k-1}\frac{e^{-r\,t} \cdot (r\,t)^x}{x!}\,.$$

Si può verificare - integrando iterativamente per parti - che quest'ultima espressione è soluzione del seguente integrale:

$$\int_0^x\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}\cdot r^{k}\cdot e^{-r\,t}$$   d$$t\,.$$

Otteniamo finalmente la funzione di partizione e quindi la distribuzione di probabilità cercate, nota come distribuzione di Erlang:

$$F(t\,\vert\, (k,r)) = \int_0^t\frac{t^{\prime^{k-1}}}{(k-1)!}\cdot r^{k} \cdot e^{-r\,t^\prime} t^\prime$$

$$f(t\,\vert\, (k,r)) = \frac{t^{k-1}}{(k-1)!}\cdot r^{k}\cdot e^{-r\,t} \, .$$ (8.26)

Figura: Distribuzione del tempo di attesa del $k$-mo successo (``Erlang'') in un processo di Poisson di intensità $r$ tale che $\tau =1/r$ sia pari a 1 e 0.5 secondi, con $k$ uguale a 1 (--), 2 (- - - -), 3 ( $\cdots \cdots$) e 5 ( $-\,\cdot\,-\,\cdot\,-$).

Valore atteso, varianza e deviazione standard valgono rispettivamente

$$(T) = \frac{k}{r} = k\,\tau$$ (8.27)

$$(T) = \frac{k}{r^2}$$ (8.28)

$$\sigma(T) = \frac{\sqrt{k}}{r} = \sqrt{k}\, \tau\,,$$ (8.29)

ove si è fatto uso anche di $\tau =1/r$ per esprimere il risultato in modo più intuitivo: la previsione del tempo di attesa è pari a $k$ volte quello di attesa del primo successo, mentre la deviazione standard aumenta come la radice quadrata del numeri di successi. Valore atteso e varianza possono essere valutati in modo molto semplice pensando a $k$ distribuzioni esponenziali (vedi paragrafo 10.7). La distribuzione di Erlang sta alla distribuzione esponenziale come la distribuzione di Pascal sta alla geometrica.

La distribuzione può essere estesa anche a valori di $k$ non interi, ottenendo la distribuzione Gamma (vedi par. 12.4).