Vita media di decadimento

Supponiamo di avere un nucleo radioattivo (o una particella subnucleare instabile) per il quale la probabilità di decadimento sia indipendente dal tempo, ovvero $dp=r\,dt$. Per quanto detto a proposito del processo di Poisson, l'istante di decadimento del nucleo a partire da un certo istante scelto arbitrariamente è descritto da una distribuzione esponenziale di parametro $r$. Il valore atteso del tempo di decadimento è pari a $\tau =1/r$, chiamato anche vita media di decadimento. È interessante calcolare il tempo tale che ci sia il 50% di probabilità che la particella sia già decaduta (ovvero la mediana della distribuzione):

$$P(T\le t_{1/2}) = 1-e^{-t/\tau}=0.5\,,$$

ovvero

$$t_{1/2} = \tau\,\ln{2}\,.$$

La mediana è chiamata, in questa applicazione, anche tempo di dimezzamento. Per capire meglio il suo significato, consideriamo $N_\circ$ nuclei all'istante $T=0$, inizio delle nostre osservazioni, e calcoliamoci previsione e incertezza di previsione del numero di nuclei che sono rimasti non decaduti all'istante $t$. Dobbiamo considerare una distribuzione binomiale avente $n=N_\circ$ e $p=e^{-t/\tau}$ e, quindi, di valore atteso e deviazione standard

$$(N) = N_\circ e^{-t/\tau}$$

$$\sigma(N) = \sqrt{N_\circ} \sqrt{e^{-t/\tau}\,(1-e^{-t/\tau})} \xrightarrow[t \ll \tau]{}\sqrt{\mbox{E}(N)}\,.$$

Dopo un tempo $t=t_{1/2}$ il numero iniziale di nuclei si è dimezzato. Si noti inoltre come, per $N_\circ$ molto grandi (tipicamente si considerano numeri dell'ordine di grandezza del numero di Avogadro) $\sigma(N)/$E$(N)$ è molto minore di 1 anche per $t$ abbastanza maggiore della vita media. Quindi la previsione del numero di nuclei non decaduti può essere considerata con ottima approssimazione una predizione deterministica che obbedisce ad una legge del tipo

$$N(t)=N_\circ e^{-t/\tau}\,,$$

soluzione dell'equazione differenziale

$$\frac{\mbox{d}N}{\mbox{d}t}=-r\,N=-\frac{1}{\tau}N\,.$$

Essa può essere espressa dicendo che ``il numero di decadimenti nell'unità di tempo è proporzionale al numero di nuclei, con un fattore di proporzionalità pari all'inverso della vita media di decadimento''.