Altre proprietà e applicazioni

Oltre a poter ricalcolare agevolmente i momenti delle distribuzioni più note, la funzione generatrice è molto utile nel caso di distribuzioni più complicate, ottenute come trasformazioni da variabili di cui sia nota la funzione generatrice. Valgono infatti le seguenti proprietà:

$$1) G_{a\,X}(t)= G_X(a\,t)$$ (8.32)

$$2) G_{X+b}(t) = e^{b\,t}G_X(t)$$ (8.33)

$$3) G_{X+Y}(t) = G_X(t)G_Y(t)$$ (8.34)

$$( \mbox{con $X$\ e $Y$\ indipendenti} )\,.$$

Le prime due proprità si ricavano facilmente applicando la definizione di $G(t)$. La terza invece richiederebbe, in principio, la conoscenza delle distribuzioni di molte variabili (vedi capitolo 9), ma si dovrebbe capire intuitivamente di cosa si tratta.

Come esercizio su queste proprità, ricaviamoci la funzione generatrice di una variabile $Y$ ottenuta da una trasformazione lineare di un'altra variabile, $X$, distribuita normalmente:

$$\left\{\begin{array}{l} X\sim {\cal N}(\mu_X,\sigma_X) \\ Y = a\,X +b \end{array}\right.$$

Dalla prime due proprietà si ottiene:

$$G_Y(t) = e^{b\,t}G_X(a\,t\,\vert\,{\cal N}(\mu_X,\sigma_X))$$

$$= e^{b\,t}e^{\mu_X\,(a\,t)+\sigma_X^2\, (a\,t)^2/2}$$

$$= e^{(a\,\mu_X+b)t + (a^2\,\sigma_X^2)\,t^2/2}$$

$$= e^{\mu_Y\, t+\sigma_Y^2\, t^2/2}\,,$$ (8.35)

con

$$\left\{\begin{array}{l} \mu_Y = a\,\mu_X+b \\ \sigma_Y^2 = a^2\,\sigma_X^2 \end{array}\right. \,.$$

Ne segue che una trasformazione lineare trasforma una distribuzione normale in un'altra distribuzione normale.

Vedremo le applicazioni della terza proprietà nel paragrafo 10.4.