pzd100 Funzione generatrice dei momenti

Questo paragrafo, decisamente tecnico, mostra come sia possibile calcolare in modo relativamente semplice i momenti delle distribuzioni (e da questi, ad esempio, media e deviazione standard), facendo uso di proprietà formali dei valori attesi.

Consideriamo il valore atteso della funzione $e^{X\,t}$, dove $t$ rappresenta un parametro che può assumere con continuità valori reali, ed indichiamolo con $G(t)$:

$$G(t) = \left(e^{X\, t}\right).$$ (8.30)

L'interesse di questo valore atteso risiede nella proprietà matematica di cui esso gode. Espandendo $G(t)$ in serie di Taylor intorno a $t=0$ si ha infatti:

$$G(t) = \left( 1 + X\, t + \frac{1}{2}\, X^2\, t^2 +\cdots + \frac{1}{x!}\, X^n\, t^n\right)$$

$$= 1 + \mu \, t +\frac{1}{2}\, \mu_2\, t^2 + \cdots + \frac{1}{n!}\, \mu_n\, t^n \,.$$

Otteniamo che i coefficienti dell'espansione sono proporzionali ai momenti intorno a zero, essendo

$$\mu^r =$$   E$$(X^r)\,.$$

(si noti che $t$ è un parametro e non un numero aleatorio).

Se effettuiamo la derivata di ordine $r$ di $G(t)$ rispetto a $t$, il primo termine non nullo è $\mu_r$, mentre tutti i termini successivi sono proporzionali ai momenti di ordine superiore a $r$, moltiplicati per potenze di $t$. Prendendo il valore della derivata $r$-esima di $G(t)$, calcolata in $t=0$, possiamo allora isolare quindi il momento di ordine $r$:

$$\mu_r = \left.\frac{\mbox{d}^r}{\mbox{d}t^r}G(t)\right\vert _{t=0}\,.$$ (8.31)

A causa della notevole proprietà di cui $G(t)$, essa è nota come funzione generatrice dei momenti. La sua utilità risiede nel fatto che a volte è più semplice ricavarsi $G(t)$ una volta per tutte e ottenere i momenti mediante derivate che effettuare gli integrali o le sommatorie necessarie per il loro calcolo diretto.

Applichiamo questa tecnica ad alcune della distribuzioni incontrate, lasciando come esercizio il caso della distribuzione esponenziale: