$t$ di Student

$$f(x\,\vert\, (\nu))=\frac{1}{\beta\left(\frac{1}{2}, \frac{\nu}{2}\right)\sqrt... ...m}\left\{\!\begin{array}{l} -\infty < x< +\infty \\ \nu > 0 \end{array}\right.$$ (8.47)

La variabile che segue la distribuzione di Student è indicata usualmente con il simbolo $t$ (o $t_\nu$) e chiamata ``$t$ di Student''. Come per il caso della distribuzione di Chi$^2$, il parametro $\nu$, non necessariamente intero è detto numero di gradi di libertà. Valore atteso e varianza sono:

$$(X) = 0 \hspace{1.2cm} ( \nu>1)$$ (8.48)

$$(X) = \frac{\nu}{\nu-2} \hspace{0.5cm}( \nu>2)$$ (8.49)

mentre la moda vale 0. La funzione generatrice dei momenti non esiste.

Figura: Esempi di distribuzioni di $t$ di Student per $\nu$ uguale a 1 (curva più larga), 2, 5, 10 e 100 ( $\approx$   ``$\infty$'').

Una proprietà importante per l'uso è la seguente: se si hanno una variabile $Z$ che segue una normale standardizzata e una variabile $\chi^2_\nu$ che segue una distribuzione di Chi$^2$ con $\nu$ gradi di libertà e le due variabili sono indipendenti, allora la nuova variabile $Z/\sqrt{\chi^2/\nu}$ segue una distribuzione di Student di parametro $\nu$.

La $t$ di Student ha una forma a campana come la gaussiana, ma con code più pronunciate per piccoli valori di $\nu$. Per $\nu$ grande (virtualmente per $\nu\rightarrow\infty$, ma in pratica quando $\nu$ supera la decina) la distribuzione tende ad una gaussiana standardizzata.