Vettori aleatori

Nei capitoli precedenti abbiamo considerato un numero aleatorio alla volta, introducendo il formalismo generale per descrivere lo stato di incertezza rispetto. Come si può bene immaginare, nei casi reali ci si trova spesso a dover considerare più grandezze dai valori incerti. Facciamo degli esempi.

• Consideriamo 100 lancio consecutivi di una moneta. Si può essere interessati al numero di teste, al numero di croci, al numero più elevato di teste consecutive che si è verificato e al numero di cambiamenti di esito (ogni volta che dopo un certo numero di teste è uscita croce e viceversa). Quali risultati sarà possibile ottenere? {0, 0, 0, 0}, {1, 0, 0, 0}, ... {50, 50, 1, 49}, ... {100, 100, 100, 100}? (Con ``{...}" è indicata la lista ordinata dei valori numerici di ciascuna delle variabili di interesse. Molte di queste combinazioni risultano impossibili.)
• Scelgo uno studente a caso che abbia terminato tutti gli esami del corso. Che voti ha riportato in ciascuno degli esami? {18, 18, 18, ..., 18}, {19, 18, 18, ..., 18}, ..., {30, 30, 30, ..., 30}? (Con ``{...}" è indicata la lista dei possibili risultati, ordinata per ordine alfabetico degli esami.)
• Si lancia una pallina su un tavolo di $120\,$cm$\times 80\,$cm? In quale punto del piano si fermerà? {0.0, 0.0}, {0.0, 0.1}, {0.1, 0.1}, ... {120.0, 80.0}, (discretizzando al millimetro le coordinate, prese a partire da uno spigolo)
• La legge fisica che lega la grandezza $X$ (misurata in unità arbitrarie) al tempo è del tipo $X=m\,t+c$. Se $m$ e $c$ valgono rispettivamente 3 e di 1 (unità arbitrarie) e la misura è affetta da errori casuali, quali valori di $X_1$ e di $X_2$ (misurati con ``strumenti reali'') si osserveranno ai tempi $t_1=1$ e $t_2=2$? {3.7, 6.7}, {3.8, 6.7}, ... {4.0, 7.0}, ... {4.5, 7.5}?
• Caso inverso del precedente: avendo osservato $X_1=3.9$ e $X_2=7.2$ ai tempi $t_1=1$ e $t_2=2$, cosa si può dire sui ``valori veri'' dei coefficienti $m$ e $c$? {3.1, 0.4}, ... {3.3, 0.6}, ... {3.4, 0.5}?

Ricapitolando, in generale si è in stato di incertezza rispetto alla realizzazione di $n$ variabili casuali, o , come si dice, rispetto a un vettore aleatorio di $n$ componenti, anche chiamato $n$-tupla (leggi ``entupla") di valori.

Come al solito, lo stato di incertezza su ciascun possibile vettore aleatorio sarà quantificato da un grado di fiducia. Vediamo separatamente il caso discreto e quello continuo. Successivamente, molte delle proprietà saranno descritte in modo generale per i due casi, eventualmente scegliendo variabili discrete o continue per gli esempi, a seconda di quella che meglio si presta al caso.