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Variabili casuali doppie continue

Per introdurre le variabili continue partiamo dalla funzione di ripartizione:

$\displaystyle F(x,y) = P(X\leq x, Y\leq y) =
\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(x^\prime,y^\prime)\,
dx^\prime dy^\prime.$

In questo caso l'elemento infinitesimo di probabilità è pari a:

$\displaystyle dF(x,y) = f(x,y)dxdy\,.$

Esso ha il significato di

$\displaystyle P[(x\le X \le x + dx)
\cap (y\le Y\le y+dy)]\,.$

La funzione densità di probabilità, ottenuta dalla funzione di ripartizione come

$\displaystyle f(x,y) = \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}\,,$

rappresenta invece il grado di fiducia del punto $ (x,y)$, come discusso al momento di introdurre le variabili continue. Le proprietà della densità di probabilità congiunta $ f(x,y)$ sono analoghe al caso unidimensionale visto nel capitolo precedente. Ricordiamo soltanto che $ f(x,y)$ ha le dimensioni inverse di $ X\cdot Y$ e che la condizione di normalizzazione diventa:

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
f(x,y)\,dx dy=1\,.$



Giulio D'Agostini 2001-04-02