Distribuzione uniforme in un rettangolo

Come primo e semplice esempio di distribuzione multipla di variabili continue consideriamo due variabili $X$ e $Y$ negli intervalli $[x_1, x_2]$ e $[y_1, y_2]$ e tali che la loro densità di probabilità congiunta $f(x,y)$ sia costante nella porzione di piano definita da tali limiti. Per semplificare i conti, ma senza perdere in generalità, facciamo coincidere gli estremi inferiori $x_1$ e $y_1$ con l'origine degli assi, e chiamiamo $a$ e $b$ le lunghezze dei due segmenti (vedi figura 9.3).

Figura: Distribuzione bidimensionale uniforme

La condizione di normalizzazione permette di ricavare il valore della costante:

$$\int_0^a\!\int_0^b f(x,y)\, x y = \int_0^a\!\int_0^b k\, x y = ab\,$$ (9.39)

da cui segue

$$f(x,y) =\frac{1}{ab}\hspace{1.0cm} \left\{\begin{array}{c} 0 \le x \le a \\ 0 \le y \le b \end{array}\right.$$ (9.40)

Possiamo quindi calcolare le distribuzioni marginali delle due variabili:

$$f(x) = \int_0^b f(x,y)\, y = \frac{1}{a}\,;$$ (9.41)

$$f(y) = \int_0^a f(x,y)\, x = \frac{1}{b}\,.$$ (9.42)

Come ovvio, la densità è uniforme in ciascuna delle due distribuzioni. Le medie e le varianze valgono quindi: E$(X)=a/2$; E$(Y)=b/2$; $\sigma^2_X=a^2/12$; $\sigma^2_Y=b^2/12$.

Per il calcolo della covarianza serve il valore atteso del prodotto:

$$(X,Y) = \int_0^a\!\int_0^b x\,y\,f(x,y)\, x y$$

$$= \frac{1}{ab}\int_0^a\!\int_0^b x\,y\, x y = \frac{ab}{4}\,,$$ (9.43)

da cui

$$(X,Y) = (X\,Y)- (X) \, (Y)= \frac{a\,b}{4}-\frac{a}{2}\frac{b}{2}=0\,.$$ (9.44)

e quindi $\rho(X,Y)=0$. In effetti, anche se si venisse a sapere che $X$ vale $a/10$, $a/2$ o $a$, questa informazione non cambia le nostre aspettative sui possibili valori di $Y$.

Il calcolo della densità di probabilità di $x$, condizionata dall'occorrenza di un valore di $Y=y$, è altresì semplice:

$$f(x\,\vert\,y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} = \frac{\frac{1}{a\,b}}{\frac{1}{b}} = \frac{1}{a}\,.$$ (9.45)

Essa è identica alla densità marginale e quindi $Y$ e $Y$ sono indipendenti.