pzd100Convoluzione di due funzioni di probabilità

Consideriamo la variabile $Z$, somma di due variabili indipendenti $X$ e $Y$. Applicando la regola generale otteniamo che

$$f(z) = \sum_{\begin{array}{c}x,y \\ x+y=z\end{array}} f(x,y)$$ (10.7)

$$= \sum_x f(x,z-y) \,.$$ (10.8)

Nel caso di variabili indipendenti la (10.8) si riduce a

$$= \sum_x f(x)f(z-y) \,,$$ (10.9)

che rappresenta il caso discreto della convoluzione di due funzioni di probabilità indipendenti. La figura 10.1 mostra la distribuzione della somma di due variabili casuali uniformi associate agli esiti del lancio di due dadi. È anche mostrata la somma di tre dadi, la quale può essere interpretata come la somma di due dadi più un terzo dado. Si noti l'alta probabilità dei valori centrali e la bassa probabilità di quelli laterali.

Figura: Distribuzione della somma dei risultati ottenuti dal lancio di $n$ dadi. La concentrazione della probabilità al centro della distribuzione è dovuta all'elevato numero di combinazioni i quali producono risultati intermedi e giustifica qualitativamente il teorema del limite centrale.

Come esempio di applicazione della (10.9) consideriamo la somma di due variabili ciascuna delle quali è una distribuzione di Poisson, con parametri $\lambda_1$ e $\lambda_2$. Abbiamo già detto, basandoci su argomenti legati all'interpretazione fisica del processo di Poisson, che la distribuzione della somma è ancora una poissoniana di parametro $\lambda_1+\lambda_2$. Utilizzando la (10.9) otteniamo:

$$f(z) = \sum_{x=0}^zf(x\,\vert\,{\cal P}_{\lambda_1}) f(z-x\,\vert\,{\cal P}_{\lambda_2})\,,$$

ove la sommatoria va da 0 a $z$ in quanto $y=z-x$ non può assumere valori negativi. Esplicitando le funzioni si ottiene:

$$f(z) = \sum_{x=0}^z \frac{e^{-\lambda_1}\lambda^{x}}{x!} \frac{e^{-\lambda_2}\lambda_2^{z-x}}{(z-x)!z!}$$

$$= \frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}(\lambda_1+\lambda_2)^z}{z!} \sum... ..._1+\lambda_2}\right)^x \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}\right)^{z-x}$$

$$= \frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}(\lambda_1+\lambda_2)^z}{z!} = f(z\,\vert\,{\cal P}_{\lambda_1+\lambda_2})\,,$$ (10.10)

in cui l'ultimo passaggio è dovuto al fatto che la sommatoria è uguale allo sviluppo del binomio

$$\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2} + \frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}\right)^z = 1^z = 1\,.$$