Cambiamento di variabile

Prendiamo la variabile $X$, con funzione densità di probabilità $f(x)$, e consideriamo una funzione crescente $Y=g(X)$. Applicando quanto appena espresso a parole per il caso generale, abbiamo che

$$P(y\le Y \le y+dy) = P(x\le X \le x+dx)\,,$$   con$$\ g(x)=y\,,$$

ovvero

$$f_Y(y) \,$$d$$y = f_X(x)\,$$d$$x\, ,$$   con$$\ g(x)=y\,,$$

in cui è stato esplicitato il fatto (generalmente sottinteso in questo testo) che $f_Y(\cdot)$ è una funzione di $y$ mentre $f_X(\cdot)$ è funzione di $x$. Ne segue che

$$f_Y(y) = \frac{f_X(x)}{\mbox{d}y/\mbox{d}x} = \frac{f_X(x)}{g^\prime(x)}\,,$$ (10.11)

dove con $g^\prime(x)$ è stata indicata la derivata di $Y=g(X)$ calcolata in corrispondenza di $Y$ tale che $g(x)=y$, ovvero di $x=g^{-1}(y)$, ove - chiariamo - ( $g^{-1}(\cdot)$ sta per la funzione inversa di $g(\cdot)$. Quindi il modo più corretto per esprimere la (10.11), funzione solo di $y$, è

$$f_Y(y) = \frac{f_X(g^{-1}(y))}{g^\prime(g^{-1}(y))}\,.$$ (10.12)

Nel caso che $g(X)$ sia decrescente si segue un ragionamento analogo, ma nel risultato finale cambia il segno al secondo membro. Quindi la formula generale, per funzioni sempre crescenti o sempre decrescenti è:

$$f_Y(y) = \frac{f_X(x)}{\left\vert\mbox{d}y/\mbox{d}x\right\vert} = \frac{f_X(g^{-1}(y))}{\left\vert g^\prime(g^{-1}(y))\right\vert}\,.$$ (10.13)

Ad esempio, se la trasformazione è del tipo $k\,X$, si ottiene

$$f_Y(y) = \frac{1}{\vert k\vert}f_X(\frac{Y}{k})\,.$$

Vediamo in dettaglio cosa succede quando si applica una trasformazione ad una variabile distribuita uniformemente.