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$ Z=X+Y$, con $ X$ e $ Y$ poissoniane

Se $ X\sim {\cal P}_{\lambda_1}$ e $ Y\sim {\cal P}_{\lambda_2}$, segue
$\displaystyle G_X(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-\lambda_1}e^{\lambda_1 e^t}$  
$\displaystyle G_Y(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-\lambda_2}e^{\lambda_2 e^t}\,.$  

Ne segue che
$\displaystyle G_{X+Y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle G_X(t)G_Y(t)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-\lambda_1-\lambda_2}
e^{(\lambda_1+\lambda_2) e^t}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-\lambda}e^{\lambda e^t}\,.$ (10.23)

$ G_{X+Y}$ ha quindi la forma della funzione generatrice di una distribuzione di Poisson, con $ \lambda=\lambda_1+\lambda_2$. Siamo quindi arrivati alle stesse conclusioni della (10.10), ma in un modo molto più semplice.

Per curiosità consideriamo anche la trasformazione lineare $ Y=aX+b$, sempre a partire da $ Y$ poissoniana:

$\displaystyle G_{aX+b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{b\,t}G_X(at)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{b\,t} e^{-\lambda}e^{\lambda e^{a\,t}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{b\,t-\lambda}e^{\lambda e^{a\,t}}\,.$  

Questa funzione non è assolutamente riconducibile alla funzioone generatrice di una poissoniana e quindi una trasformazione lineare di una poissoniana non dà una poissoniana.
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Giulio D'Agostini 2001-04-02