Correlazione fra una variabile e una combinazione lineare che la contiene

C'è un altro caso che può a tornare utile per le applicazioni di laboratorio. Riguarda la valutazione del coefficiente di correlazione fra una variabile casuale, ad esempio $X_1$, e una combinazione lineare di variabili casuali che contiene anche questa, ad esempio $Y=\sum_i \alpha_i X_i$. Ovviamente il risultato segue da quento trattato in questo paragrafo se si considera una seconda combinazione lineare $Z$ che contenga soltanto $X_1$ con coefficiente $\beta_1=1$. Facciamo soltanto il caso semplice ed istruttivo di variabili $x_i$ fra loro indipendenti. Otteniamo allora

Cov$$(Y,X_1) = \alpha_1Var(X_1)$$

e quindi

$$\rho(Y,X_1)=\frac{\alpha_1\sigma_1}{\sqrt{\alpha_1^2\sigma_1^2 + \alpha_2^2\sigma_2^2 + \cdots + \alpha_n^2\sigma_n^2}}\,.$$

Il coefficiente di correlazione è dato dal rapporto fra il contributo a $\sigma_Y$ della sola $X_1$ e $\sigma_Y$ stessa. Quindi tende a $\pm 1$ quando $X_1$ domina l'incertezza su $Y$, mentre tende a zero quando il suo contributo è trascurabile.