Convergenza in distribuzione della binomiale e della poissoniana

Sia la binomiale che la poissoniana godono della proprietà riproduttiva. Questa proprietà permette di pensare una distribuzione caratterizzata da un valore medio elevato come una somma di tante variabili casuali provenienti dallo stesso tipo di distribuzione ma caratterizzate da valori medi più piccoli. Siccome per il teorema del limite centrale una somma di variabili casuali tende ad una distribuzione normale, la distribuzione binomiale e quella di Poisson tendono alla distribuzione normale al crescere, rispettivamente, di $np$ e di $\lambda$:

• distribuzione binomiale: per valori di $np$ e di $nq$ ``abbastanza grandi'' la distribuzione binomiale tende ad una distribuzione normale di $\mu=np$ e $\sigma=\sqrt{pqn}$;
• distribuzione di Poisson: per valori di $\lambda$ ``abbastanza grandi'' la distribuzione di Poisson tende ad una distribuzione normale di $\mu=\lambda$ e $\sigma=\sqrt{\lambda}$.

La condizione di valore ``abbastanza grande'' dipende dal grado di accuratezza con cui si vuole calcolare la probabilità. Per la maggior parte delle applicazioni che si incontrano nella trattazione degli errori e per la determinazione degli intervalli di fiducia la condizione è soddisfatta per valori di $np$, $nq$ e $\lambda$ maggiori di 10-15.

Figura: Approssimazione normale della distribuzione di Poisson.

Bisogna precisare cosa si intende per limite di una distribuzione discreta a una distribuzione continua. Infatti in un caso la funzione di distribuzione ha il significato di una probabilità e nell'altro di una densità di probabilità. Il limite va allora inteso per la funzione di ripartizione:

$$\lim_{n\rightarrow\infty} F(x_i) = \int_{-\infty}^{x_i+1/2} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx$$

dove l'integrale è stato esteso fino a $x_i+1/2$ per tener conto della natura discreta della variabile casuale. Otteniamo quindi per la probabilità di un determinato valore della variabile casuale:

$$P(X=x_i) = f(x_i) = \lim_{n\rightarrow\infty}(F(x_i) - F(x_i-1))$$

$$= \int_{x_i-1/2}^{x_i+1/2} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx$$

dove abbiamo utilizzato il fatto $x_i-x_{i-1} = 1$ per le distribuzioni discrete di interesse.

A volte, se si è interessati alla probabilità di un solo valore $x_i$, l'integrale viene ignorato e la distribuzione normale viene utilizzata come se fosse una distribuzione discreta. Questo deriva dall'approssimazione

$$f(x_i) = \int_{x_i-1/2}^{x_i+1/2} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx$$

$$\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}} \Delta x$$

$$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}\, ,$$

essendo $\Delta x =1$.

Figura: Proprietà asintotiche della distribuzione binomiale e di quella di Poisson.