Fattori di influenza non perfettamente noti

Figura: Modello inferenziale per trattare le incertezze dovute ad effetti sistematici non perfettamente noti.

Finora abbiamo lasciato il condizionamento di (sfondo) $I$ in forma generica o l'abbiamo semplicemente omessa. Come detto, $I$ rappresenta lo stato di tutte le conoscenze che possono influenzare l'osservazione $x$, e quindi l'inferenza di $\mu$. Nell'approccio che stiamo seguento, la trattazione di questi cosiddetti effetti sistematici segue direttamente dalle regole della probabilità. Se indichiamo con $\mathbf{h}$ l'insieme dei parametri di influenza $\{h_1, h_2, \ldots, h_m\}$ e con $f(\mathbf{h})$ la funzione densità di probabilità congiunta che descrive il nostro stato di conoscenza su di essi (consideriamo per semplicità e senza perdere in generalità valori continui per le variabili di influenza), abbiamo facendo uso di una estensione della formula delle alternative (9.11) estesa a molte variabili:

$$f(\mu\,\vert\,\mathbf{x},I) \equiv f(\mu\,\vert\,\mathbf{x},\mathbf{h},I_\circ)$$ (11.29)

$$\rightarrow f(\mu\,\vert\,\mathbf{x},I_\circ) = \int\! f(\mu\,\vert\,\mathbf{x},\mathbf{h},I_\circ) f(\mathbf{h}\,\vert\,I_\circ) \, \mathbf{h}\,,$$ (11.30)

ove è stato indicato con $I_\circ$ il residuo stato di informazione di sfondo non compreso nelle $\mathbf{h}$. La figura 11.5 dà una rappresentazione grafica della verosimiglianza condizionata [ $f(x\,\vert\,\mu,h)$], dell'inferenza condizionata [ $f(\mu\,\vert\,x,h)$], e dell'inferenza che tiene conto di tutte le possibilità di $h$.

Nel paragrafo *** discuteremo come risolvere questo problema mediante opportune approssimazioni che ci eviteranno complicati integrali nei casi di routine. Vediamo ora in dettaglio un caso semplice e istruttivo in cui i conti non sono troppo complicati.