pzd100Previsione di guadagno e decisioni

La quantità $M=P(E)\cdot S$ può essere riscritta nel seguente modo

$$M = P(E)\cdot S + (1-P(E))\cdot 0$$

$$= P(E)\cdot S + P(\overline{E})\cdot 0 \,,$$

mettendo in luce che essa è ottenuta dalla somma degli importi che si possono vincere se si verifica un certo evento, ciascuno moltiplicato per sua probabilità di avvenire.

Se si eseguono contemporaneamente tante scommesse su tanti eventi $E_1$, $E_2$,..., $E_n$, la speranza matematica è la somma delle speranza matematiche di ciascuna delle scommesse. Includendo anche l'evento $E_\circ$ (``non si verifica nessuno degli altri $n$ eventi''), con vincita nulla ($S_\circ$), otteniamo

$$M = \sum_{i=0}^n P(E_i)\cdot S_i\,.$$ (2.16)

Si noti che non è richiesto che gli $E_i$ siano incompatibili fra di loro. Ad esempio, giocando alla roulette si può puntare contemporaneamente sul ``2'', sul ``3'', sui pari e sui rossi. Se le puntate sono rispettivamente 10, 10, 100 e 200 mila lire la speranza matematica sarà pari (in migliaia di lire) a

$$M=\frac{1}{37}\times 360 + \frac{1}{37}\times 360 + \frac{18}{37}\times 200+ \frac{18}{37}\times 400\,.$$

Per l'ovvio significato che appare in questi esempi la speranza matematica è anche chiamata - sono questi i termini attualmente preferiti - valore atteso, o previsione, di vincita.

Questi termini potrebbero generare confusione se non li si pensa accompagnati dall'aggettivo ``probabilistico'', e si intendesse che vogliano dire ``predizioni'' in termini di certezza. Non si deve nemmeno intendere che essi si riferiscano agli importi che effettivamente si possono vincere (0, $S_1$, $S_2$, etc). L'esempio della roulette rende abbastanza bene l'idea. Le possibili vincite sono 0 (non si realizza nessuna delle puntate), 200 mila (un pari che non sia il ``2'' e nemmeno ``rosso''), 560 o 960 mila se esce il ``2'' (nelle due ipotesi che questo numero sia definito nero o rosso), e così via.

Quindi l'attesa, o previsione, probabilistica dà l'idea di una sorta di vincita media, e su questo concetto ritorneremo quando si parlerà delle variabili casuali. Quello che è importante è che, in scommesse eque, la previsione di vincita deve essere uguale alla somma delle poste.

Estendiamo il concetto di scommessa a situazioni più complicate in cui si gioca contemporaneamente pro e contro diversi eventi. Ovvero per alcuni eventi $S_i$ può essere positivo e per altri può essere negativo. Questo è quello che si verifica tutti i giorni quando possono accadere degli eventi in grado di produrre vantaggi o svantaggi a seconda che si verifichino oppure no: affrontare un viaggio per procurarsi un lavoro comporta una spesa che potrebbe essere compensata dall'assunzione; viaggiare sull'autobus senza biglietto ha un vantaggio immediato che però può trasformarsi in una perdita se passa il controllore. Anche la roulette può essere vista in questo modo considerando la puntata $A$ una perdita quando non si verifica nessuno degli eventi sui quali si è scommesso.

In questi casi, al posto della previsione di vincita (calcolata senza tener conto della posta pagata) è preferibile parlare della previsione di guadagno, ottenuta con la stessa formula di $M$ e indicata con I$$P$(G)$ e calcolata in due modi alternativi ma equivalenti:

 $&bull#bullet;$

gli eventi $E_i$ devono essere tali per cui almeno uno deve accadere (quando c'è un evento e il suo contrario questo è automatico); le vincite vanno considerate come vincite nette $S_N$, ovvero già detratte delle puntate; le puntate sono considerate negative e associate agli eventi opposti a quelli sui quali si è scommesso;

-

alternativamente si possono considerare le vincite lorde (come in $M$) e sottarre la somma delle puntate ($A_{tot}$) (con probabilità 1 in quanto esse si considerano versate in anticipo);

Otteniamo quindi:

$$ (G) = \sum_{i}P(E_i)\cdot S_{N_i}$$ (2.17)

o

$$ (G) = \sum_{i}P(E_i)\cdot S_i - A_{tot}\,.$$ (2.18)

Ne segue che

• le scommesse eque, o coerenti, hanno una previsione (probabilistica) di guadagno nulla e le decisioni su quale verso della scommessa preferire sono indifferenti;
• le decisioni vantaggiose hanno una previsione di guadagno positiva;

Come esempio numerico riprendiamo il caso della roulette puntando 1000 lire su un solo numero. I due modi per calcolare la previsione di guadagno sono:

$$ (G) = \frac{1}{37}\times (36\times 1000 - 1000) +\frac{36}{37}\times (-1000) = -\frac{1}{37}\times 1000$$

$$ (G) = \frac{1}{37}\times (36\times 1000) + \frac{36}{37}\times 0 - 1000 = - \frac{1}{37}\times 1000\,.$$

Come esempio di decisione, consideriamo la situazione di un automobilista che deve scegliere fra pagare il biglietto del parchimetro, di costo $B$, o rischiare una multa di importo $C$ se arriva il vigile, evento la cui probabilità $P(V\,\vert\,I)$ è subordinata allo stato di informazione su città, quartiere, ora, traffico, situazione meteorologica, etc. La previsione di guadagno è

$$ (G) = P(\overline{V}\,\vert\,I)\cdot B + P(V\,\vert\,I)\cdot (-C+B) = B - C\cdot P(V\,\vert\,I)\,.$$

Quindi la multa è veramente scoraggiante se

$$C > \frac{B}{P(V\,\vert\,I)}\,.$$