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Caso binomiale

Nel caso che il numero di successi sia molto maggiore di zero e molto minore di $ n$, la verosimiglianza $ X\sim {\cal B}_{n,p}$ è approssimativamente gaussiana, ovvero

$\displaystyle X \sim \ \approx{\cal N}(n\,p,\sqrt{n\,p\,(1-p)})\,.$

Pensando alla frequenza relativa di successi $ X/n$, abbiamo

$\displaystyle \frac{X}{n} \sim \approx{\cal N}(p,\frac{\sqrt{p\,(1-p)}}{\sqrt{n}})\,.$

Di nuovo, assumendo la nostra conoscenza su $ p$ abbastanza vaga, abbiamo
$\displaystyle p$ $\displaystyle \sim$ $\displaystyle \ \approx {\cal N}(\frac{x}{n},\sigma(\frac{X}{n})\,.$ (12.5)

Ne segue
E$\displaystyle (p)$ $\displaystyle \approx$ $\displaystyle \frac{x}{n}$ (12.6)
$\displaystyle \sigma(p)$ $\displaystyle \approx$ $\displaystyle \sigma\left(\frac{X}{n}\right)$ (12.7)
  $\displaystyle \approx$ $\displaystyle \frac{\sqrt{\mbox{E}(p)\,[1-\mbox{E}(p)]}}{\sqrt{n}}$ (12.8)
  $\displaystyle \approx$ $\displaystyle \sqrt{\frac{x/n(1-x/n)} {n}}\,.$ (12.9)


Giulio D'Agostini 2001-04-02