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Caso generale di inferenza con
verosimiglianza binomiale
Affrontiamo ora il caso generale dell'inferenza di
dalla conoscenza di e di e dall'aver assunto un processo
di Bernoulli indipendente per ogni esito, sotto condizione
che valga un certo valore (si potrebbe scrivere
``'', ma, come già
visto per e , per i parametri delle distribuzioni
preferiamo utilizzare soltanto la lettera minuscola).
Questo è stato il famoso ``problem in the theory of chance''
che aveva indotto il reverendo Bayes a sviluppare formalmente
il metodo di inversione di probabilità che porta il suo nome.
Assumendo una distribuzione
uniforme per abbiamo:
Questa volta l'integrale a denominatore è meno banale del caso
gaussiano. Il risultato finale è:
|
(12.11) |
di cui sono mostrati alcuni esempi in Fig. 12.1.
Figura:
Funzione densità di probabilità del parametro
della binomiale, avendo osservato successi in prove.
|
Si vede, come a parità di , al crescere di si è sempre
più sicuri su . Inoltre (semplice riflesso del
limite a normale della binomiale) per grande e lontano da
0 e da 1 la funzione finale ha la forma gaussiana.
Valore atteso, varianza e moda di
sono:12.1
E |
|
|
(12.12) |
Var |
|
|
(12.13) |
|
|
|
|
|
|
E |
(12.14) |
Moda |
|
|
(12.15) |
Su questo problema aveva lavorato, oltre che Bayes,
anche Laplace e, in particolare,
la (12.12) è nota come formula recursiva di Laplace.
Si noti come essa sia dia valori di
E diversi da quelli
di sicurezza (ovvero 0 e 1) anche quando vale 0 o 1, consistente
con il fatto che una inferenza asata su processi aleatori non può mai
condurre alla sicurezza. Addirittura la formula dà una
risposta ragionevole (
E)
per , ovvero prima di aver eseguito le misure. Questo non
ha niente di magico, ma è il solo riflesso della prior
uniforme su .
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Giulio D'Agostini
2001-04-02