Consideriamo lo sviluppo della potenza -ma del binomio .
Scriviamolo in dettaglio per i casi più semplici:
Da questi esempi si capisce già la relazione fra coefficienti
dello sviluppo e il concetto di combinazione appena incontrato:
-
le potenze di ordine compaiono una sola volta, in quanto
ottenute moltiplicando fra di loro tutti i primi o secondi
termini del binomio, e questo può succedere una sola volta;
-
le potenze di ordine di (tanto per fissare le idee)
compaiono
quando vengono moltiplicate fra di loro volte
e 1 volta ;
questo può accadere volte, ovvero il numero di possibili
scelte di sugli fattori ;
-
le potenze di derivano dalle possibili coppie di ,
e così via.
Per questo motivo le espressioni
sono anche chiamate coefficienti binomiali. L'espressione
generale dello sviluppo di un binomio
diventa
(3.9)
(3.10)
Si noti il caso particolare di . Per tali valori
e la sommatoria diventa:
(3.11)
La ben nota rappresentazione a triangolo dei coefficienti
binomiali (chiamato ``di Pascal'' o ``di Tartaglia'') è mostrata
in tabella 3.1.
Tabella:
Rappresentazione a triangolo dei coefficienti binomiali.