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Eventi e insiemi


Tabella: Corrispondenza fra eventi ed insiemi.
Eventi Insiemi simbolo
evento insieme $ E$
evento certo ambiente $ \Omega$
(spazio campionario)
evento impossibile insieme vuoto $ \emptyset$
implicazione inclusione $ E_1\subseteq E_2$
(sottoinsieme)
uguaglianza uguaglianza se $ \left\{\! \begin{array}{l}
E_1\subseteq E_2 \\
\mbox{e} \\
E_2\subseteq E_1
\end{array}\right. \Rightarrow E_1=E_2$
evento opposto insieme $ \overline{E}$
(o complementare) complementare $ E\cup \overline{E} = \Omega$
$ \overline{\Omega} = \emptyset$, $ \overline{\emptyset} = \Omega$
prodotto logico intersezione $ E_1 \cap E_2$
somma logica unione $ E_1\cup E_2$
eventi incompatibili insiemi disgiunti $ E_1 \cap E_2 = \emptyset$
classe completa partizione finita $ \left\{\! \begin{array}{l}
E_i \cap E_j = \emptyset\ \forall i\ne j \\
\bigcup_i E_i = \Omega
\end{array}\right.$


Prima di procedere con le altre proprietà della probabilità è conveniente introdurre il formalismo con cui sono indicate le operazioni logiche di eventi. Tali operazioni verranno a mano a mano esemplificate sul caso degli esiti del lancio del dado.
Evento:
come detto, rappresenta qualsiasi affermazione. Nel caso dei dadi possiamo avere ad esempio: ``2'', ``pari'', ``$ \le$ 3'', ``1, 2, 5'', etc. Questi eventi vengono indicati generalmente con lettere maiuscole: $ E$, $ A$, $ B$, etc. A volte si usa $ H$, a indicare ``ipotesi'', in quanto gli eventi sono associati ad ipotesi (``nell'ipotesi che esce il sei vinco'').

A volte si indicano con lettere minuscole gli eventi elementari, volendo con essi indicare descrizioni di avvenimenti che non possono essere classificati ulteriormente in base a caratteristiche che hanno alcuni e non altri. Quindi nel caso del dado si avrebbe: $ e_1=\lq\lq 1$'', $ e_2=\lq\lq 2$''.

(Si noti che nei casi reali non ha senso parlare di eventi elementari, in quanto, dato un certo avvenimento, le caratterizzazioni possono essere virtualmente infinite. Ad esempio l'evento ``la squadra $ X$ vince'' può essere caratterizzata da ``se gioca in casa'', ``con almeno due goal di scarto'', ``nonostante il portiere espulso'', etc.)

Un modo generale di indicare gli eventi del lancio del dado è di elencare i casi elementari che li costituiscono, come ad esempio

-
$ A$ = ``pari'' = {2, 4, 6};
-
$ B$ = ``$ \le 3$'' = {1, 2, 3};
-
$ C$ = ``6'' = $ e_6$ = {6}.
Evento certo:
è indicato con $ \Omega$. Nel caso del dado
-
$ \Omega$ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
L'evento certo dipende dal problema. Ad esempio nel lancio di una moneta l'evento certo può essere {``testa'', ``croce''}, o {``testa'', ``croce'', ``dritta''}. Anche se queste precisazioni sembrano cavillose e sono sottintese nella maggior parte dei problemi didattici, esse sono invece importanti nella vita reale (si pensi alle classiche postille dei contratti assicurativi, intere pagine scritte a caratteri microscopici che vengono fatte firmare esplicitamente, oltre a quanto sottoscritto nell'atto principale - ``non si preoccupi, firmi tranquillo: niente d'importante''...).

Evento impossibile:
sono tutte le affermazioni incompatibili con gli esiti del dado: ``esce sia 3 che 4 allo stesso colpo''; ``esce $ \pi/4$'', etc.
Implicazione,
indicata con $ E_1\subseteq E_2$ (``$ E_1$ implica $ E_2$''). Indica che se $ E_1$ è vero anche $ E_2$ è necessariamente vero. Esempio:
-
se $ E_1$ = {2} e $ E_2$ = ``pari'', ne segue che $ E_1\subseteq E_2$;
-
se $ E_1$ = {1, 3, 5} e $ E_2$ = ``dispari'', ne segue che $ E_1\subseteq E_2$ e $ E_2\subseteq E_1$. Quando $ E_1$ implica $ E_2$ e anche $ E_2$ implica $ E_1$ vuol dire che i due eventi sono uguali: $ E_1 = E_2$.
Evento opposto
ad $ E$, indicato con $ \overline{E}$ (si incontra anche il simbolo $ E^c$). Se $ E$ è vero segue che $ \overline{E}$ è falso e viceversa, come ``pari'' e ``dispari''. È chiamato anche evento complementare.
Prodotto logico,
indicato con $ E_1 \cap E_2$ (si incontra anche $ E_1 \wedge E_2$). Esso è vero se sono veri sia $ E_1$ che $ E_2$. Esso è anche indicato con il simbolo ``AND'', con l'``e'' commerciale ``SPMamp;'' o, anche semplicemente, con il classico simbolo di prodotto ``$ \cdot$''. Esempi:
-
se $ E_1$ = {1, 3, 5} e $ E_2$ = {1} segue che $ E_1 \cap E_2$ = {1};
-
se $ E_1$ = ``$ \le 4$'' e $ E_2$ = ``$ \ge 3$'' segue che $ E_1 \cap E_2$ = {3, 4};
-
se $ E_1$ = {1} e $ E_2$ = ``pari'' segue che il prodotto logico è un evento impossibile: $ E_1 \cap E_2$ = $ \emptyset$;
-
se consideriamo due dadi e chiamiamo $ E_1$ = ``$ \le 2$'' al primo dado e $ E_2$ = ``pari'' al secondo dado, il prodotto logico $ E_1 \cap E_2$ è dato dalle coppie $ \{(1,2), (1,4), (1,6), (2,2),
(2,4), (2,6)\}$, ove le coppie ordinate di valori si riferiscono ai risultati dei due dadi.
Dalla definizione segue che il prodotto logico di $ E_1$ e $ E_2$ implica sia $ E_1$ che $ E_2$: $ (E_1\cap E_2) \subseteq E1$; $ (E_1\cap E_2) \subseteq E2$.
Eventi incompatibili:
quando non possono essere veri entrambi, ovvero se il loro prodotto logico è un evento impossibile ( $ E_1 \cap E_2$ = $ \emptyset$). Un esempio è riportato nel punto precedente. Un evento e il suo opposto sono sempre incompatibili: $ E \cap \overline{E}$ = $ \emptyset$.
Somma logica:
$ E_1\cup E_2$ (si incontra anche $ E_1 \vee E_2$). È un evento vero se è vero almeno uno dei due eventi. È anche indicata con il simbolo ``OR''. Esempi
-
se $ E_1$ = {1} e $ E_2$ = ``pari'', ne segue che $ E_1\cup E_2$ = {1, 2, 4, 6}.
-
se consideriamo un evento e il suo opposto, la loro unione logica dà la certezza: $ E \cup \overline{E}$ = $ \Omega$.
Dalla definizione segue che ciascuno degli eventi $ E_1$ e $ E_2$ implica la loro somma logica: $ E_1 \subseteq (E_1\cup E_2)$; $ E_2 \subseteq (E_1\cup E_2)$.

Tabella: Proprietà fondamentali delle operazioni fra insiemi (ed eventi). Esse possono essere dimostrate facilmente utilizzando i diagrammi di Venn.
involuzione $ \overline{\overline A} = A$
commutatività $ A\cup B = B\cup A$
$ A\cap B = B\cap A$
associatività $ (A\cup B)\cup C= A\cup (B\cup C) $
$ (A\cap B)\cap C= A\cap (B\cap C) $
distributività $ A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C) $
$ A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C) $
distributività $ A\cap(B_1\cup B_2 \cup \ldots ) =
(A\cap B_1)\cup (A\cap B_2)\cup \ldots $
numerabile $ A\cup(B_1\cap B_2\cap \ldots) =
(A\cup B_1)\cap (A\cup B_2)\cap \ldots $
idempotenze $ A\cup A = A$
$ A\cap A = A$
assorbimento $ A\cup (A\cap B) = A$
$ A\cap (A\cup B) = A$
assorbimento da $ \Omega$ e da $ \emptyset$ $ A \cup \Omega = \Omega$
$ A \cap \emptyset = \emptyset$
identità $ A \cup \emptyset = A$
$ A \cap \Omega = A $
legge di contraddizione $ A \cap \overline{A} = \emptyset$
legge del terzo escluso $ A \cup \overline{A} = \Omega$
leggi di De Morgan $ \overline{A\cap B} = \overline{A}\cup \overline{B}$
$ \overline{A\cup B} = \overline{A}\cap \overline{B}$



Tabella: Simboli dell'algebra booleana e dell'algebra degli insiemi con tabelline della verità (0 e 1 stanno rispettivamente per falso e vero).
Simbolo Evento $ A$ $ B$
booleano 0 1
AND $ A\cap B$ 0 0 0
1 0 1
OR $ A\cup B$ 0 0 1
1 1 1
NAND $ \overline{A\cap B}\ (= \overline{A}\cup \overline{B})$ 0 1 1
1 1 0
NOR $ \overline{A\cup B}\ (= \overline{A}\cap \overline{B})$ 0 1 0
1 0 0
XOR $ (A\cap \overline{B}) \cup (\overline{A}\cap B)$ 0 0 1
1 1 0


Classe completa:
è composta da eventi tali che essi siano a due a due mutuamente esclusivi e tali che la loro somma logica costituisca l'evento certo (quest'ultima proprietà è anche espressa dicendo che sono esaustivi).

$\displaystyle \left\{\! \begin{array}{l} E_i \cap E_j = \emptyset\ \ \ \ \forall i\ne j \\  \bigcup_{i=1}^n E_i = \Omega \end{array}\right.$ (4.2)

La notazione $ \bigcup_{i=1}^n E_i$ indica la somma logica degli $ n$ eventi della classe (è il corrispondente del simbolo di sommatoria dell'aritmetica).
-
$ E_1$ = ``pari'' e $ E_2$ = ``dispari'' rispettano questa condizione; lo stesso vale per $ E_1$ = ``$ \le 2$'', $ E_2$ = ``3'', $ E_3$ = ``$ >3$'';
-
$ E_1$ = ``$ < 4$'' e $ E_2$ = ``$ \ge$ 3'' non formano una classe completa, e nemmeno $ E_1$ = ``$ < 4$'' e $ E_2$ = ``$ >4$'' (violano rispettivamente la prima e la seconda condizione della (4.2);
-
non è necessario che la classe completa sia composta dagli ``eventi elementari'', anche perché questi eventi non sono in genere definibili nei problemi reali.

Figura: Spazio campionario ed esempi di eventi nel caso di lancio di due dadi: $ A$=``il primo dado dà 6''; $ B$ = ``il secondo dado dà 6''; $ A\cap B$ = ``entrambi i dadi danno 6''.
\begin{figure}\centering\epsfig{file=fig/dago14.eps,height=7cm,clip=}\end{figure}

È spesso molto pratico mettere in relazione gli eventi con gli insiemi. Essi infatti obbediscono a identiche proprietà formali se si fanno delle opportune analogie fra definizioni sugli eventi e definizioni sugli insiemi, come mostrato in tabella 4.1. Per gli uni e per gli altri valgono ad esempio le proprietà riportate in tabella 4.2. Inoltre un importante vantaggio della corrispondenza fra eventi ed insiemi è che si può utilizzare la visualizazione grafica dei diagrammi di Venn. È allora conveniente disegnare le aree con cui si rappresentano gli insiemi proporzionali alle probabilità dei corrispettivi eventi. Il semplice caso dello spazio campionario legato al lancio di due dadi è mostrato in figura 4.1 (per non appesantire la figura si è evitato di disegnare $ \Omega$ intorno ai 36 punti). Alcune proprietà di eventi e insiemi sono raffigurate in figura 4.2.

Figura: Proprietà degli insiemi e diagrammi di Venn. a) insieme complementare; b) sottoinsieme (proprio); c-f) proprietà dell'unione e dell'intersezione; g) partizione finita; h) decomposizione di un insieme $ F$ nelle proprie intersezioni con una partizione finita
\begin{figure}\centering\epsfig{file=fig/dago19.eps,width=\linewidth,clip=}\end{figure}

Come completamento di quanto detto sull'algebra degli eventi riportiamo pure in tabella 4.3 i simboli usualmente utilizzati nell'algebra booleana con il corrispondente dell'algebra degli eventi e degli insiemi. Per ciascuna operazione è riportata anche la cosiddetta tavola della verità, di interpretazione immediata.
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Giulio D'Agostini 2001-04-02