Eventi e insiemi

Tabella: Corrispondenza fra eventi ed insiemi.

Eventi	Insiemi	simbolo
evento	insieme	$E$
evento certo	ambiente	$\Omega$
	(spazio campionario)
evento impossibile	insieme vuoto	$\emptyset$
implicazione	inclusione	$E_1\subseteq E_2$
	(sottoinsieme)
uguaglianza	uguaglianza	se $\left\{\! \begin{array}{l} E_1\subseteq E_2 \\ \mbox{e} \\ E_2\subseteq E_1 \end{array}\right. \Rightarrow E_1=E_2$
evento opposto	insieme	$\overline{E}$
(o complementare)	complementare	$E\cup \overline{E} = \Omega$
		$\overline{\Omega} = \emptyset$, $\overline{\emptyset} = \Omega$
prodotto logico	intersezione	$E_1 \cap E_2$
somma logica	unione	$E_1\cup E_2$
eventi incompatibili	insiemi disgiunti	$E_1 \cap E_2 = \emptyset$
classe completa	partizione finita	$\left\{\! \begin{array}{l} E_i \cap E_j = \emptyset\ \forall i\ne j \\ \bigcup_i E_i = \Omega \end{array}\right.$

Prima di procedere con le altre proprietà della probabilità è conveniente introdurre il formalismo con cui sono indicate le operazioni logiche di eventi. Tali operazioni verranno a mano a mano esemplificate sul caso degli esiti del lancio del dado.

Evento:

come detto, rappresenta qualsiasi affermazione. Nel caso dei dadi possiamo avere ad esempio: ``2'', ``pari'', ``$\le$ 3'', ``1, 2, 5'', etc. Questi eventi vengono indicati generalmente con lettere maiuscole: $E$, $A$, $B$, etc. A volte si usa $H$, a indicare ``ipotesi'', in quanto gli eventi sono associati ad ipotesi (``nell'ipotesi che esce il sei vinco'').

A volte si indicano con lettere minuscole gli eventi elementari, volendo con essi indicare descrizioni di avvenimenti che non possono essere classificati ulteriormente in base a caratteristiche che hanno alcuni e non altri. Quindi nel caso del dado si avrebbe: $e_1=\lq\lq 1$'', $e_2=\lq\lq 2$''.

(Si noti che nei casi reali non ha senso parlare di eventi elementari, in quanto, dato un certo avvenimento, le caratterizzazioni possono essere virtualmente infinite. Ad esempio l'evento ``la squadra $X$ vince'' può essere caratterizzata da ``se gioca in casa'', ``con almeno due goal di scarto'', ``nonostante il portiere espulso'', etc.)

Un modo generale di indicare gli eventi del lancio del dado è di elencare i casi elementari che li costituiscono, come ad esempio

-

$A$ = ``pari'' = {2, 4, 6};

-

$B$ = ``$\le 3$'' = {1, 2, 3};

-

$C$ = ``6'' = $e_6$ = {6}.

Evento certo:

è indicato con $\Omega$. Nel caso del dado

-

$\Omega$ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

L'evento certo dipende dal problema. Ad esempio nel lancio di una moneta l'evento certo può essere {``testa'', ``croce''}, o {``testa'', ``croce'', ``dritta''}. Anche se queste precisazioni sembrano cavillose e sono sottintese nella maggior parte dei problemi didattici, esse sono invece importanti nella vita reale (si pensi alle classiche postille dei contratti assicurativi, intere pagine scritte a caratteri microscopici che vengono fatte firmare esplicitamente, oltre a quanto sottoscritto nell'atto principale - ``non si preoccupi, firmi tranquillo: niente d'importante''...).

Evento impossibile:

sono tutte le affermazioni incompatibili con gli esiti del dado: ``esce sia 3 che 4 allo stesso colpo''; ``esce $\pi/4$'', etc.

Implicazione,

indicata con $E_1\subseteq E_2$ (``$E_1$ implica $E_2$''). Indica che se $E_1$ è vero anche $E_2$ è necessariamente vero. Esempio:

-

se $E_1$ = {2} e $E_2$ = ``pari'', ne segue che $E_1\subseteq E_2$;

-

se $E_1$ = {1, 3, 5} e $E_2$ = ``dispari'', ne segue che $E_1\subseteq E_2$ e $E_2\subseteq E_1$. Quando $E_1$ implica $E_2$ e anche $E_2$ implica $E_1$ vuol dire che i due eventi sono uguali: $E_1 = E_2$.

Evento opposto

ad $E$, indicato con $\overline{E}$ (si incontra anche il simbolo $E^c$). Se $E$ è vero segue che $\overline{E}$ è falso e viceversa, come ``pari'' e ``dispari''. È chiamato anche evento complementare.

Prodotto logico,

indicato con $E_1 \cap E_2$ (si incontra anche $E_1 \wedge E_2$). Esso è vero se sono veri sia $E_1$ che $E_2$. Esso è anche indicato con il simbolo ``AND'', con l'``e'' commerciale ``SPMamp;'' o, anche semplicemente, con il classico simbolo di prodotto ``$\cdot$''. Esempi:

-

se $E_1$ = {1, 3, 5} e $E_2$ = {1} segue che $E_1 \cap E_2$ = {1};

-

se $E_1$ = ``$\le 4$'' e $E_2$ = ``$\ge 3$'' segue che $E_1 \cap E_2$ = {3, 4};

-

se $E_1$ = {1} e $E_2$ = ``pari'' segue che il prodotto logico è un evento impossibile: $E_1 \cap E_2$ = $\emptyset$;

-

se consideriamo due dadi e chiamiamo $E_1$ = ``$\le 2$'' al primo dado e $E_2$ = ``pari'' al secondo dado, il prodotto logico $E_1 \cap E_2$ è dato dalle coppie $\{(1,2), (1,4), (1,6), (2,2), (2,4), (2,6)\}$, ove le coppie ordinate di valori si riferiscono ai risultati dei due dadi.

Dalla definizione segue che il prodotto logico di $E_1$ e $E_2$ implica sia $E_1$ che $E_2$: $(E_1\cap E_2) \subseteq E1$; $(E_1\cap E_2) \subseteq E2$.

Eventi incompatibili:

quando non possono essere veri entrambi, ovvero se il loro prodotto logico è un evento impossibile ( $E_1 \cap E_2$ = $\emptyset$). Un esempio è riportato nel punto precedente. Un evento e il suo opposto sono sempre incompatibili: $E \cap \overline{E}$ = $\emptyset$.

Somma logica:

$E_1\cup E_2$ (si incontra anche $E_1 \vee E_2$). È un evento vero se è vero almeno uno dei due eventi. È anche indicata con il simbolo ``OR''. Esempi

-

se $E_1$ = {1} e $E_2$ = ``pari'', ne segue che $E_1\cup E_2$ = {1, 2, 4, 6}.

-

se consideriamo un evento e il suo opposto, la loro unione logica dà la certezza: $E \cup \overline{E}$ = $\Omega$.

Dalla definizione segue che ciascuno degli eventi $E_1$ e $E_2$ implica la loro somma logica: $E_1 \subseteq (E_1\cup E_2)$; $E_2 \subseteq (E_1\cup E_2)$.

Tabella: Proprietà fondamentali delle operazioni fra insiemi (ed eventi). Esse possono essere dimostrate facilmente utilizzando i diagrammi di Venn.

involuzione	$\overline{\overline A} = A$
commutatività	$A\cup B = B\cup A$
	$A\cap B = B\cap A$
associatività	$(A\cup B)\cup C= A\cup (B\cup C)$
	$(A\cap B)\cap C= A\cap (B\cap C)$
distributività	$A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)$
	$A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)$
distributività	$A\cap(B_1\cup B_2 \cup \ldots ) = (A\cap B_1)\cup (A\cap B_2)\cup \ldots$
numerabile	$A\cup(B_1\cap B_2\cap \ldots) = (A\cup B_1)\cap (A\cup B_2)\cap \ldots$
idempotenze	$A\cup A = A$
	$A\cap A = A$
assorbimento	$A\cup (A\cap B) = A$
	$A\cap (A\cup B) = A$
assorbimento da $\Omega$ e da $\emptyset$	$A \cup \Omega = \Omega$
	$A \cap \emptyset = \emptyset$
identità	$A \cup \emptyset = A$
	$A \cap \Omega = A$
legge di contraddizione	$A \cap \overline{A} = \emptyset$
legge del terzo escluso	$A \cup \overline{A} = \Omega$
leggi di De Morgan	$\overline{A\cap B} = \overline{A}\cup \overline{B}$
	$\overline{A\cup B} = \overline{A}\cap \overline{B}$

Tabella: Simboli dell'algebra booleana e dell'algebra degli insiemi con tabelline della verità (0 e 1 stanno rispettivamente per falso e vero).

Simbolo	Evento	$A$	$B$
booleano			0	1
AND	$A\cap B$	0	0	0
		1	0	1
OR	$A\cup B$	0	0	1
		1	1	1
NAND	$\overline{A\cap B}\ (= \overline{A}\cup \overline{B})$	0	1	1
		1	1	0
NOR	$\overline{A\cup B}\ (= \overline{A}\cap \overline{B})$	0	1	0
		1	0	0
XOR	$(A\cap \overline{B}) \cup (\overline{A}\cap B)$	0	0	1
		1	1	0

Classe completa:

è composta da eventi tali che essi siano a due a due mutuamente esclusivi e tali che la loro somma logica costituisca l'evento certo (quest'ultima proprietà è anche espressa dicendo che sono esaustivi).

$$\left\{\! \begin{array}{l} E_i \cap E_j = \emptyset\ \ \ \ \forall i\ne j \\ \bigcup_{i=1}^n E_i = \Omega \end{array}\right.$$ (4.2)

La notazione $\bigcup_{i=1}^n E_i$ indica la somma logica degli $n$ eventi della classe (è il corrispondente del simbolo di sommatoria dell'aritmetica).

-

$E_1$ = ``pari'' e $E_2$ = ``dispari'' rispettano questa condizione; lo stesso vale per $E_1$ = ``$\le 2$'', $E_2$ = ``3'', $E_3$ = ``$>3$'';

-

$E_1$ = ``$< 4$'' e $E_2$ = ``$\ge$ 3'' non formano una classe completa, e nemmeno $E_1$ = ``$< 4$'' e $E_2$ = ``$>4$'' (violano rispettivamente la prima e la seconda condizione della (4.2);

-

non è necessario che la classe completa sia composta dagli ``eventi elementari'', anche perché questi eventi non sono in genere definibili nei problemi reali.

Figura: Spazio campionario ed esempi di eventi nel caso di lancio di due dadi: $A$=``il primo dado dà 6''; $B$ = ``il secondo dado dà 6''; $A\cap B$ = ``entrambi i dadi danno 6''.

È spesso molto pratico mettere in relazione gli eventi con gli insiemi. Essi infatti obbediscono a identiche proprietà formali se si fanno delle opportune analogie fra definizioni sugli eventi e definizioni sugli insiemi, come mostrato in tabella 4.1. Per gli uni e per gli altri valgono ad esempio le proprietà riportate in tabella 4.2. Inoltre un importante vantaggio della corrispondenza fra eventi ed insiemi è che si può utilizzare la visualizazione grafica dei diagrammi di Venn. È allora conveniente disegnare le aree con cui si rappresentano gli insiemi proporzionali alle probabilità dei corrispettivi eventi. Il semplice caso dello spazio campionario legato al lancio di due dadi è mostrato in figura 4.1 (per non appesantire la figura si è evitato di disegnare $\Omega$ intorno ai 36 punti). Alcune proprietà di eventi e insiemi sono raffigurate in figura 4.2.

Figura: Proprietà degli insiemi e diagrammi di Venn. a) insieme complementare; b) sottoinsieme (proprio); c-f) proprietà dell'unione e dell'intersezione; g) partizione finita; h) decomposizione di un insieme $F$ nelle proprie intersezioni con una partizione finita

Come completamento di quanto detto sull'algebra degli eventi riportiamo pure in tabella 4.3 i simboli usualmente utilizzati nell'algebra booleana con il corrispondente dell'algebra degli eventi e degli insiemi. Per ciascuna operazione è riportata anche la cosiddetta tavola della verità, di interpretazione immediata.