Inferenza probabilistica

Un modo interessante di rileggere la probabilità condizionata è di pensare il condizionante causa dell'evento (visto come effetto). Questo vale, ad esempio, se si considerano gli eventi condizionati:

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``sopravvive almeno cinque anni''$\vert$``ha subito un trapianto al fegato'';

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``auto rubata''$\vert$``auto nuova e di valore'';

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``l'ago della bilancia si posiziona su 1000.00g''$\vert$``chilogrammo campione su bilancia commerciale di laboratorio'';

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``si registrano $x$ conteggi in un contatore di radioattività'' $\vert$``la radioattività ambientale vale $r$'';

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``si osservano $x$ globuli bianchi in un piccolo campione di sangue osservato al microscopio''$\vert$``il sangue contiene $n$ globuli bianchi per unità di volume''.

Il condizionante viene visto come causa che può provocare i vari effetti corrispondenti agli eventi condizionati (vedi figura 5.2):

$$P(E\,\vert\,H) \Longleftrightarrow P( \,\vert\, )\,.$$ (5.1)

La causa è da intendersi inoltre in senso lato, come teoria che può dar luogo a dei fenomeni osservati, ovvero grandezza fisica responsabile dei valori registrati dagli strumenti:

$${\large P(\mbox{fenomenologia}\,\vert\,\mbox{teoria}\ \cap\ \mbox{condizioni al contorno}) }$$

ovvero

$${\large P(\mbox{osservazioni strumentali}\,\vert\,\mbox{grandezza} \ \cap\ \mbox{fattori di influenza})\,. }$$

Nel condizionante sono stati esplicitate anche altre cause concomitanti che sono ugualmente responsabili degli effetti osservati. ``Condizioni al contorno'' e ``fattori di influenza'' indicano genericamente tutte le condizioni iniziali o altri fattori esterni alla teoria, calibrazioni degli strumenti, variabili e disturbi ambientali, e così via.

Figura: Deduzione e induzione

Si intuisce che, come indicato nella citazione di Poincaré posta all'inizio del capitolo, se si riesce a trovare una regola per invertire la probabilità e valutare $P(H\,\vert\,E)$ a partire da $P(E\,\vert\,H)$, questa potrà essere utilizzata come una via per imparare dall'esperienza, alternativa allo scetticismo di Hume o al falsificazionismo popperiano. In questo capitolo indicheremo la possibile strada da seguire e mostreremo che i risultati che si ottengono sono sensati. Tentare di dimostrare invece la ``certezza'' di questo approccio sarebbe invece un paradosso autoreferenziale, anche se qualcuno osa dire che ``nei ragionamenti in condizioni di incertezza l'unica cosa che oggigiorno sembra certa sia come trattare le incertezze''.

Prima di proseguire è importante aggiungere due note, per evitare che la visione causa-effetto stravolga il concetto più generale - conoscitivo - della probabilità condizionata. Innanzitutto ricordiamo che la probabilità condizionata $P(E\,\vert\,H)$ è da intendersi come probabilità di $E$ nell'ipotesi che $H$ sia vera. Quindi non va intesa come se fosse calcolabile soltanto dopo che $H$ risulta essere vera. In secondo luogo, l'evento condizionante è da intendersi come uno stato di informazione e non deve essere vista in funzione strettamente causale. Questo risulterà chiaro fra poco, quando, nell'inversione di probabilità l'evento che consideriamo effetto giocherà il ruolo di condizionante rispetto alla conoscenza sulla ``causa fisica''.

Figura: Schema di inversione della probabilità