${\bf\circlearrowright\,}$ Statistica bayesiana: imparare dall'esperienza

Nell'esempio precedente si era partiti da una stima di probabilità fondata da una esperienza sperimentale più o meno ``solida'' di tipo ``oggettivo'' (cioè sulla quale è difficile non convenire^5.4). Essa veniva riaggiornata alla luce di verosimiglianze degli eventi osservati.

Consideriamo un altro esempio nel quale il punto di partenza è molto più vago e assolutamente soggettivo (cioè non è, in genere, nemmeno in linea di principio ``intersoggettivo''): una persona ascolta un comune amico, collega o familiare, rispondere al telefono e tenta di indovinare l'identità dell'interlocutore. A secondo della conoscenza che egli ha dell'amico, dell'ora della telefonata, della lingua usata, del tono della voce e del soggetto della conversazione (indichiamo con $I$ l'insieme di tutte queste informazioni), attribuirà una certa probabilità all'evento ``l'interlocutore è la persona ``$X_i$''. Egli comincia a prendere in considerazione alcune persone e a scartarne altre, finché la massa di informazioni diventa tale da poter essere in grado di identificare con la quasi certezza la persona (anche se non se ne conosce l'identità, come ad esempio ``quel signore che gioca a tennis con papà'').

Questa esperienza è capitata a tutti e non è difficile riconoscere che il processo induttivo utilizzato si basi sulla valutazione della probabilità relativa delle singole persone secondo lo schema di Bayes:

$$P(X_i\,\vert\,I) \propto P(I\,\vert\,X_i)\cdot P_\circ (X_i)\,,$$

dove con $P_\circ(X_i)$ è stata indicata la probabilità iniziale che una persona possa telefonare e con $P(X_i\,\vert\,I)$ la probabilità finale condizionata dallo stato di informazione $I$.

Nello schema bayesiano la probabilità finale si riaggiorna ogni qualvolta intervengono nuove osservazioni. $P(I\,\vert\,X_i)$ invece indica quanto è verosimile che le informazioni siano prodotte dall'interazione con la persona $X_i$. Per esplicitare il fatto che l'informazione $I$ dipende dal tempo e che sia la probabilità iniziale che la verosimiglianza dipendono dalla conoscenza iniziale $I_\circ$, la relazione dovrebbe essere scritta come

$$P(X_i\,\vert\,I(t)\cap I_\circ) \propto P(I(t)\,\vert\,X_i\cap I_\circ) \cdot P(X_i\vert I_\circ)\,.$$