Ricapitolando

• Il teorema di Bayes gioca un ruolo cruciale in tutti i problemi di probabilità inversa, primo fra tutti il problema delle probabilità delle cause, viste come eventi condizionanti degli effetti osservati.
• Nella sua formulazione più semplice esso afferma che
  

  $$P(H_i\,\vert\,E) \propto P(H_i\,\vert\, E)\cdot P(H_i)\,,$$

  
  
  cioè

  la probabilità finale di $H_i$ (subordinata all'ipotesi che $E$ sia vero) è proporzionale alla verosimiglianza di $E$ (subordinata all'ipotesi che $H$ sia vera) per la probabilità iniziale di $H_i$.

• Quando gli eventi $H_i$ costituiscono una classe completa di ipotesi il teorema assume la sua forma più conosciuta di
  

  $$P(H_i\,\vert\,E) = \frac{P(E\,\vert\,H_i)\cdot P(H_i)} {\sum_j P(E\,\vert\,H_j)\cdot P(H_j)} \hspace{0.2 cm} \left\{\! \begin{array}{l} H_i \cap H_j = \emptyset\ \ (i\ne j) \\ \bigcup_{i=1}^n H_i = \Omega \end{array}\right.$$

  
  

• Il teorema di Bayes può essere usato iterativemente considerando la probabilità iniziale per la prossima inferenza uguale alla probabilità finale dell'inferenza precedente. È notevole il fatto che i risultati dipendano soltanto dalle osservazioni sperimentali (oltre che dalle probabilità a priori), ma non dall'ordine con il quale sono considerati.
• La statistica bayesiana consiste nell'uso sistematico del teorema di Bayes per aggiornare i gradi di fiducia delle diverse ipotesi.
• La dipendenza dalle probabilità iniziali è fortemente ridotta quando si hanno a disposizione molte informazioni sperimentali. In tale caso le conclusioni sono determinate dai dati sperimentali.
• Lo schema di aggiornamento del grado di fiducia mediante il meccanismo bayesiano (pregiudizio + indizi $\rightarrow$ conclusioni) è molto simile a quello utilizzato comunemente nella ricerca scientifica.
• Il metodo di falsificazione è recuperato nel caso in cui una ipotesi ha verosimiglianza nulla di produrre una certa osservazione. Le varie teorie che non sono state falsificate sono invece classificate secondo la loro credibilità (soggettiva o intersoggettiva).
• Come nel caso in cui si ha una certa quantità di osservazioni sperimentali e pregiudizi non troppo rigidi le conclusioni sono essenzialmente determinate dalle verosimiglianze, lo stesso si verifica quando c'è un giudizio di indifferenza a priori rispetto alle varie ipotesi. In questi casi le ipotesi più probabili sono quelle che massimizzano la verosimiglianza. Questo giustifica il criterio di massima verosimiglianza, se almeno una di queste condizioni è soddisfatta.
• L'uso dei concetti e dei metodi probabilistici nell'inferenza di grandezze fisiche e nel test di ipotesi scientifiche richiede di rilasciare la condizione di verificabilità degli eventi (la possibilità alternativa, forse filosoficamente più fondata ma più pesante da perseguire, sarebbe quella di interessarsi soltanto a previsioni e ad affermazioni probabilistiche di osservabili). Nel seguito assumeremo, essenzialmente per ragioni di comodo, di ipotizzare l'esistenza di ``valori veri'' di grandezze fisiche.