Problemi

1. Ad una persona vengono date due monete, apparentemente identiche, ma una di esse è sbilanciata in modo tale da presentare testa nel 60% dei casi (come valutato da misure precedenti). Egli prende una delle due monete, la lancia tre volte, ottenendo sempre testa. Quanto vale la probabilità che la moneta scelta sia quella truccata?
2. Il 60% degli studenti di un liceo sono maschi e il 40% femmine. L' 80% delle ragazze fuma, mentre l'80% dei ragazzi non fuma. Quanto vale la probabilità che uno studente scelto a caso risulti maschio e fumatore? Incontrando lungo il corridoio uno studente, qual'è la probabilità che sia un fumatore? Sapendo invece che uno studente fuma, quanto vale la probabilità che sia un ragazzo? (Risolvere il problema senza considerare un ipotetico numero totale di studenti)
3. Si osserva un certo evento il quale, nell'ambito di una certa teoria assunta vera, ha probabilità dello 0.1%. Quanto vale la probabilità che tale teoria sia vera, alla luce di tale osservazione?
4. Secondo due teorie, le quali godono dello stesso grado di credibilità, la probabilità che si verifichi un certo evento è pari a $e^{-\lambda}$ in cui il parametro $\lambda$ vale 1 per la teoria $Th_1$ e 2 per la teoria $Th_2$. Come cambia la credibilità delle due teorie nell'ipotesi che si verifichi tale evento?
5. Una scatola può contenere con pari probabilità un anello d'oro o uno d'argento, indistinguibili al tatto. Si aggiunge un anello d'oro nella scatola (anch'esso indistinguibile), si agita e si estrae a caso un anello. Esso è d'oro. Quanto vale la probabilità che nella scatola ci sia rimasto ancora un anello d'oro?
6. Una ditta cerca dell'acqua nel sottosuolo mediante misure di conducibilità del terreno. L'esperienza passata ha mostrato che, nei terreni in cui non c'è acqua, la probabilità che la conducibilità superi un certo valore critico è dell'1%, mentre è praticamente 1 nel caso di acqua. Le misure indicano un valore di conducibilità ben al di sopra di quello critico. Inoltre i contadini della zona ritengono molto probabile che in quel terreno si possa trovare l'acqua. Quantificando il ``molto probabile'' in 90% valutare la probabilità che scavando ci sia effettivamente dell'acqua.
7. Una persona ritiene che la probabilità che una squadra vinca un incontro di calcio sia dell'80%, mentre la probabilità che essa passi in vantaggio entro il termine del primo tempo sia del 60%. Egli crede inoltre che se la squadra termini il primo tempo in vantaggio ha una probabilità di vincere del 90%. Di quanto aumenta la probabilità che la squadra avesse terminato il primo tempo in vantaggio, qualora egli venisse a sapere che la squadra ha vinto l'incontro?
8. Un paziente presenta un sintomo che potrebbe essere prodotto da quattro possibili malattie $M_1$, $M_2$, $M_3$ e $M_4$, fra loro incompatibili. L'incidenza di quelle malattie sulla popolazione è rispettivamente dello 0.5, 0.1, 0.01 e 0.1% e le frequenze con le quali esse presentano quel sintomo sono il 5, il 50, il 95 e il 100%. Da quale malattia è più probabilmente affetto il paziente?
9. Sui dati del problema precedente. Ammettiamo che sia possibile determinare in modo certo l'esatta patologia ma attraverso analisi specifiche, lunghe e molto costose. Esiste invece la possibilità di effettuare un test rapido ed economico che dà un risultato negativo se è presente $M_4$, mentre dà un risultato positivo per le altre malattia, ma con probabilità rispettivamente del 5, 30 e 90%.

   Il test dà risultato positivo. In quale ordine dovranno essere prescritte le analisi costose per identificare la malattia? (Assumiamo che la pericolosità delle malattie sia simile e che nessuna di esse presenti carattere di urgenza.)

10. Un medico di famiglia riscontra in un paziente dei sintomi che possono essere causati, con probabilità 90%, dalla malattia $M_1$ e, con probabilità 50% dalla malattia $M_2$. Le patologie $M_1$ e $M_2$ sono abbastanza rare ed inoltre il medico sa che ci sono altre malattie che potrebbero provocare i sintomi riscontrati, ma non è sufficientemente informato su di esse. Sa bene invece che le due patologie non si presentano insieme e che $M_2$ ha una incidenza sulla popolazione 10 volte $M_1$. In base a queste informazioni quanto vale la probabilità che il paziente sia afflitto da $M_1$.
11. In un paese di 60 milioni di abitanti si vuole effettuare un test di AIDS sull'intera popolazione. Stime preliminari indicano che il probabile numero di persone infette dal virus HIV è di 50 mila. Supponiamo di effettuare il test mediante delle analisi di laboratorio che abbiano le seguenti caratteristiche: la probabilità che una persona infetta risulti positiva al test è del 99.9%, mentre la probabilità che una persona non infetta risulti negativa è del 99.8%. Si discutano gli effetti di tale test sull'intera popolazione. Ad esempio: quanto vale la probabilità che una persona dichiarata positiva dal test sia effettivamente infetta? Quanto vale la probabilità che una persona dichiarata negativa sia effettivamente sana? E' possibile, con questi dati effettuare veramente un test su tutta la popolazione? Perché è preferibile analizzare i così detti ``gruppi a rischio''? Quali sono i vantaggi e gli svantaggi di effettuare due test indipendenti, definendo positivi coloro che risultano positivi ad entrambi?
12. Sui dati del problema precedente: un dottore è seriamente in dubbio che un paziente possa essere infetto dal virus HIV e lo invita a sottoporsi a un test dal quale risulta positivo. Quanto vale il grado di fiducia del medico che il paziente sia infetto?
13. ``Agli impiegati piace il lifting'' è il titolo di un trafiletto pubblicato sul Corriere della Sera del 12/11/94: ``Plastiche facciali, lifting, seni o semplici nasi nuovi. la chirurgia estetica conquista sempre nuovi clienti. ... secondo un sondaggio della scuola di medicina estetica, infatti, solo '8% degli operati appartiene al mondo dello spettacolo. Al primo posto si collocano a sorpresa, gli impiegati (18%), seguiti da artigiani e commercianti (16%), professionisti e casalinghe (15%), dirigenti (12%). Perfino gli operai (11%) superano in numero gli artisti''. Perché il giornalista si dice sorpreso dei risultati del sondaggio? (Provare, ad esempio, a rispondere alla domanda, espressa in modo canonico: ``quanto vale la probabilità che una persona sia un artista, nell'ipotesi che la persona si sia sottoposta ad un intervento di chirurgia estetica?'')
14. Un investigatore di provincia, autodidatta in statistica inferenziale, dovendo affrontare un caso difficile si documenta sulla probabilità che persone appartenenti a diverse categorie possano aver commesso un certo crimine. Questo gli dovrebbe servire a rivolgere le indagine cominciando da certi ambienti anziché altri. Egli divide le persone in: a) artigiani; b) frequentatori di palestre; c) divorziati; e) frequentatori di night club; f) donatori di sangue; g) insegnanti; h) titolari di agenzie assicurative; i) mariti infedeli. Egli si documenta anche sulla percentuale di questi gruppi di persone fra la popolazione. Può usare la formula di Bayes?
15. Un telespettatore, avendo risposto correttamente ad una serie di quiz, ha diritto ad un premio consistente in due anelli, da estrarre nel seguente modo: tre custodie identiche contengono una due anelli d'oro, un'altra uno d'oro e uno d'argento e la terza due d'argento; il telespettatore sceglie una custodia e la valletta estrae a caso un anello e lo mostra alle telecamere; successivemente il fortunato telespettatore ha il diritto di scegliere se far estrarre il secondo anello dalla stessa custodia o da un'altra.
    Supponendo che il primo anello sia d'oro, dove conviene estrarre il secondo?
16. Per un esperimento di fisica si sta progettando un rivelatore per identificare una nuova particella che è attesa essere prodotta insieme ad un fondo $10^7$ volte superiore. Assumendo che il rivelatore riesca ad identificare con la quasi certezza la particella di interesse, trovare l'errore massimo che esso può commettere nella reiezione del fondo al fine di avere un rapporto segnale/rumore di 10.
17. Riprendiamo il problema delle due scatole di cui una contiene 8 palline bianche e 2 nere e l'altra 2 bianche e 8 nere. Si estrae una pallina da una scatola scelta a caso e, senza guardarla, la si ripone nell'altra scatola. Successivamente si estrae una pallina da quest'ultima scatola. Calcolare la probabilità che la pallina sia bianca facendo i conti dettagliati. Quanto vale invece la probabilità che la seconda pallina sia bianca se si è visto che la prima pallina è bianca?

18. Figura: Problema delle sei scatole.

    
    Consideriamo sei scatole le quali contengono 5 palline di cui una tutte nere ($N$), la seconda 4 nere e una bianca ($B$), e così via, fino alla sesta che contiene tutte palline bianche (vedi figura 5.6). Indichiamole con $H_0$, $H_1$, ..., $H_5$, associando l'indice di ordine al numero di palline bianche. Si sceglie a caso una delle scatole. Poi si sceglie a caso una pallina, la si guarda e la si reintroduce nella scatola. Quindi si estrae di nuovo una pallina, e così via. Valutare la probabilità che la scatola scelta sia ciascuna delle $H_i$ dopo ciascuna estrazione, sapendo che l'ordine di osservazione delle palline è $N$, $B$, $N$. Quali sarebbero le conclusioni dopo la terza estrazione se l'ordine fosse stato $N$, $N$, $B$? (Rispondere a questa domanda sia in modo intuitivo che facendo i conti). Annotazioni da inserire in vari punti delle dispensa

19. Seguito del problema precedente. Quanto vale la probabilità che al quarto tentativo si estrai una pallina bianca?

20. In un test a scelta multipla consistente in 10 quesiti, ciascuno con 3 possibili soluzioni, i candidati devono rispondere esattamente a tutte le domande. Da studi preliminari è noto che le frazioni di persone in grado di rispondere correttamente ad almeno 10, 9, 8, 7, 6 e 5 domande sono rispettivamente 5, 15, 35, 75, 95 e 100%. E' anche noto che i candidati rispondono a caso quando non sanno risolvere il quesito, nella speranza di aumentare il punteggio. Quanto vale la probabilità che se un candidato ha risposto correttamente a tutte le domande abbia tirato a indovinare almeno una risposta? E almeno due risposte?
21. Riprendiamo l'esempio del sospetto baro discusso nel paragrafo 5.7. Rendiamo il problema un po' più realistico supponendo che un baro non vinca sempre. Fissiamo ad esempio $P(V\vert B) = 0.70$ e supponiamo che la sequenza di Vincite e Non_vincite del sospetto baro sia: N, V, V, V, N, V, N, V, V, V. Valutare la probabilità che egli sia effettivamente un baro dopo ogni risultato partendo da una probabilità iniziale di $P_\circ(B) = 0.50$.
22. Dai dati del problema precedente: valutare direttamente la probabilità che la persona sospetta bari sapendo soltanto che ha vinto 7 volte e ha perso 3 volte.
23. Un termometro digitale avente una risoluzione di 1 grado è stato appena tolto dalla sua confezione con cui è arrivato dal fornitore^5.8 Dall'esperienza precedente si sa che quel tipo di termometri ha il 60% di probabilità di indicare la temperatura giusta mentre ha una probabilità del 20% di sbagliare di $+1\,^\circ C$ e il 20% di sbagliare di $-1\,^\circ C$. La sensazione fisiologica dello sperimentatore è tale che costui creda, dalla sua esperienza passata, che la temperatura ambiente sia molto probabilmente 20 o 21 $^\circ C$ (40% di probabilità per ciascuno dei valori). Egli crede quattro volte di meno ai valori contigui a questi e si sente praticamente sicuro di escludere valori inferiori a 19 o superiori a 22 $^\circ C$. Il termometro fornisce una lettura di 21 $^\circ C$. Come vengono modificati i gradi di fiducia sulle diverse temperature?
24. Sul problema precedente: discutere come cambiano le conclusioni se il termometro segna 18 $^\circ C$, fermo restante il giudizio a priori dello sperimentatore. Che conclusioni ne trarrebbe invece una persona meno esperta che ha idee più vaghe sul valore della temperatura ambiente?
25. Sempre sul problema del termometro: si immagini che lo sperimentatore ``esperto'' sappia che il 5% quel tipo di strumenti arriva difettoso dal costruttore. In tale caso la lettura può segnare qualsiasi valore fra 0 e 99 $^\circ$C con la stessa probabilità. Se a parità di condizioni fisiologiche descritte precedentemente il termometro segna 18$^\circ$C, quanto vale la probabilità che il termometro sia rotto? Quanto sono credibili i vari valori di temperatura sotto queste condizioni?
26. Risolvere il problema precedente nel caso che le valutazioni a priori consentano, benché con probabilità molto piccola il valore di 18$^\circ$C: $P(T=18), \ldots P(T=23) =$1, 10, 39, 39, 10, 1 %.
27. Sempre sullo stesso termometro e in base alle probabilità a priori del problema precedente. Quanto vale la probabilità che il termometro sia rotto se indica 20, 17 o 5$^\circ$C?
28. A proposito dei problemi precedenti: ``ma non sarebbe meglio cambiare termometro?''; ``bisogna fare tutti questi conti per un problema così semplice?''.
29. Il gene responsabile del carattere di poter arrotolare la lingua (``R'') è dominante rispetto a quello dominante di non poterla arrotolare (``r''). Chiamiamo roller un individuo che abbia tale capacità. Supponiamo che un bambino, orfano di madre, sia roller. Il padre, anch'egli roller, si è successivamente risposato con una donna proveniente da una famiglia nella quale non c'era nessun roller. Dal nuovo matrimonio sono nati tre figli di cui soltanto uno mostra la capacità di arrotolare la lingua. Sapendo che nella regione in cui vive questa famiglia i geni alleli responsabili del carattere sono diffusi con circa la stessa frequenza, calcolare la probabilità che la mamma del bambino fosse roller.
30. Continuazione del problema precedente: come cambia la probabilità dalla conoscenza che il nonno materno è roller?
31. Un sedicente sensitivo, davanti ad una commissione di ``scienziati scettici'', riesce a fare delle previsioni che la commissione ritiene abbiano una probabilità di $10^{-8}$ di essere indovinate per caso. Assumiamo che la commissione (scettica!) valuti in $10^{-8}$ la probabilità di avere di fronte un sensitivo genuino. Come varia l'opinione della commissione di fronte a tale constatazione sperimentale?

    Successivamente un prestigiatore professionista fa notare alla commissione che se il sedicente sensitivo fosse un abile imbroglione avrebbe avuto una probabilità del 99% di ingannare la commissione senza essere scoperto. Come si tiene conto di questa nuova informazione?

    Il sensitivo viene di nuovo invitato ad esibirsi di fronte alla commissione costituita anche dal prestigiatore, ma egli si rifiuta. Quali conclusioni deve trarne la commissione?

32. Analizzare i problemi 11, 13 e 30 (prima domanda) assumendo che le conclusioni siano quelle che massimizzano la verosimiglianza.