Teorema del limite centrale

Ricordiamo brevemente quanto afferma il teorema del limite centrale: la combinazione lineare di $n$ variabili indipendenti ( $Y=\sum_{i=1}^n \alpha_iX_i$) tende ad essere distribuita normalmente, con $\mu_y = \sum_{i=1}^n \alpha_i\mu_{x_i}$ e $\sigma^2_y = \sum_{i=1}^n \alpha^2_i\sigma^2_{x_i}$, quando $n\rightarrow \infty$, se: a) le $\mu_{x_i}$ sono finite; b) $\alpha_i^2\sigma^2_{x_i} \ll \sigma^2_y$ per ciascuna variabile $X_i$ non distribuita normalmente. (Un altro modo di esprimere la seconda condizione è che le $\sigma_{x_i}$ devono essere dello stesso ordine di grandezza e solo variabili già distribuite normalmente possono fare eccezione; non è invece necessario che siano dello stesso ordine di grandezza anche le $\mu_{x_i}$, in quanto eventuali costanti additive non influenzano la distribuzione).

Si noti che il teorema non dice niente sul numero minimo di componenti necessarie affinché esso sia valido. Dipende dalle distribuzioni delle $X_i$. Ad esempio, nel caso di variabili aventi la stessa distribuzione uniforme è sufficiente $n\ge 4-5$ affinché l'approssimazione sia ragionevole (è molto convincente la figura 3, che può essere reinterpretata, a parte un fattore $n$ come la distribuzione della media). Se le distribuzionioni hanno invece un massimo centrale sono sufficienti 2-3 componenti (si noti come 2 triangolari di uguale $\Delta$ equivalgono a 4 uniformi). Siccome nelle applicazioni alle incertezze di misura le variabili di partenza sono spesso ``quasi gaussiane'' la convergenza è generalmente molto rapida⁴⁹.