... semplicit\`a¹

Si vedrà come queste postille di subordinazione delle conclusioni scientifiche a conoscenze e ``pregiudizi'' a priori giocano un ruolo fondamentale nei processi di misura e nell'accettazione di teorie da parte della comunità scientifica.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... arbitraria²

Ma dopo l'osservazione della prima delle sequenze è forte il sospetto che si tratti di una moneta con due teste, qualora ci siano delle buone ragioni per far sorgere un simile dubbio (ad esempio non si à modo di verificare direttamente la regolarità della moneta). Il concetto di probabilità servirà a quantificare il grado di tale sospetto.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... particolare''³

``Grandezza particolare'' (altezza di una certa torre, massa dell'elettrone, accelerazione di gravità a Roma) è in contrapposizione con ``grandezza generale'' (lunghezza, massa, accelerazione).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... vero⁴

Si capisce quindi come la definizione di valore vero come ``quello che si otterrebbe dopo una serie infinita di misure con strumentazione ideale'' non è migliore di quella ISO, anzi, questa dà l'illusione che questo valore sia, almeno idealmente, unico, mentre la definizione ISO tiene conto che le misure vengono eseguite in condizioni reali e con tutte le cause di incertezza che saranno elencate in questo paragrafo.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... simulazione⁵

Non ci sarebbe alcun bisogno di simulare il processo al computer, dato che la soluzione può essere ottenuta analiticamente mediante il calcolo delle probabilità, ma l'esperienza mi insegna che le simulazioni possono essere più convincenti per alcune persone.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... altri⁶

Ci si potrebbe chiedere: come mai questo processo non porta ad un collasso? Semplicemente perché nei laboratori non si seguono queste regole e, invece di nascondere la testa nella sabbia degli errori massimi, si cerca di ricalibrare in continuazione strumenti e procedure. Questo è quanto dovrebbe imparare subito anche lo studente

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... puerile⁷

Questo aspetto psicologico non riguarda soltanto gli studenti. Non è raro vedere anche nella ricerca avanzata risultati in sorprendente accordo fra di loro o con predizioni teoriche nonostante le loro enormi barre di incertezza, o fisici sperimentali preoccupati se i loro valori differiscono di un paio di deviazioni standard da una ``solida predizione'' o da un risultato precedente.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... lettura⁸

A volte lo si sente chiamare anche errore di sensibilità, o addirittura semplicemente ``sensibilità'' (in una nota per studenti si legge testualmente: ``l'indeterminazione su tali grandezze può essere presa pari alla sensibilità del termometro impiegato, ovvero mezza tacca''). In questo caso ``sensibilità'' starebbe per ``risoluzione'' (vedi norma DIN 1319, 2, 9, che incontreremo fra poco). E' raccomandabile utilizzare il termine ``sensibilità'' per indicare ... la sensibilità, ovvero, detto alla buona, ``il rapporto fra la variazione della risposta e la variazione dello stimolo''.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... divisioni.''⁹

Essere praticamente sicuri che il valore sia entro il 1/5 di divisione, vuol dire che, se ci si sforza al interpolare al meglio, ci si aspetta una deviazione standard dell'errore di lettura di circa $0.2/\sqrt{12}$ divisioni, compatibile al valore di $\approx 0.7$ che si osserva sperimentalmente.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... tacche¹⁰

Perché non cambiare strumento? Domanda legittimissima. Il problema è che questo non è sempre possibile. Quindi è importante, all'occorrenza, imparare a sfruttare tutta la potenzialità degli strumenti a disposizione. Queste dovrebbero essere le regole del gioco sulle quale sviluppare un corso di teoria e pratica di valutazione delle incertezze di misure.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... secondo¹¹

Si noti inoltre che, quando si misura una grandezza fisica ($X$) in funzione del tempo ($t$), non ha molto senso parlare di errori su $t$ e su $X$, in quanto ogni differenza dell'istante di lettura dal tempo nominale si rifletterà in un errore sulla grandezza fisica. Quindi, ai fini del risultato finale, è più che ragionevole attribuire tutto l'errore a $X$ e considerare $t$ esente da errore (si veda anche il paragrafo 16.4.2).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... Quinn¹²

T.J. Quinn, ``The beam balance as an instrument for very precise weighing'', Meas. Sci. Technol., 3(1992), 141.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... massimi¹³

Qualcuno prova a trasformare ``errori massimi'' in ``errori statistici'', considerando $\Delta x = 3\sigma(x)$ e, nella direzione opposta, $\sigma(x) = \Delta x/\sqrt{6}$ (assumendo una distribuzione uniforme del valore vero di $x$ entro $2\,\Delta x$). La seconda trasformazione è ragionevolissima se veramente si crede che $x$ possa assumere qualsiasi valore entro $\pm\Delta x$, sebbene questo credere sia in contrasto con le interpretazioni usuali di probabilità. La trasformazione inversa ( $\sigma\rightarrow\Delta$), con l'uso successiva delle propagazioni lineari è invece assurdo in quanto in contrasto con le proprie credenze (gli errori massimi assumono, tacitamente, indifferenza entro $\pm \Delta$).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... completa,¹⁴

Un altro punto molto critico, ma su cui non entreremo, è quello legato ai cosiddetti ``test di ipotesi''.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... osservazione''¹⁵

Ho sentito questa espressione dal neurologo Sergio Della Sala durante la conferenza annuale del CICAP (Comitato Italiano per il Controllo delle Affermazioni sul Paranormale), Padova, Novembre 1997. L'originale dovrebbe essere di Umberto Eco, forse in ``Kant e l'ornitorinco''...
Il significato che attribuisco a questa espressione in questo contesto sarà chiaro a partire dal paragrafo 13: la mera osservazione empirica ("un numero su un display'') non accresce la Conoscenza, se questa informazione viene avulsa dal contesto di ``credenze'' che contornano misurando, strumento di misura e processo di misura.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... Kant¹⁶

E' molto espressivo il commento di Bruno de Finetti sull'insuccesso di Kant a far fronte alla critica di Hume: ``Ma le reazioni contro ogni chiarificazione intelligente sono sempre pronte e pieno di sacro zelo, in difesa della sacra ottusità: ecco il povero Kant affannarsi a tamponare la falla aperta da Hume ed a rabberciare la sconnessa fabbricazione tradizionale, dove il ragionamento induttivo si vuole a forza ricollegato e inserito, al pari di quello deduttivo, nelle strutture anguste della logica del certo''.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... frequenza''¹⁷

Assumiamo che il lettore sia al corrente delle ``definizioni'' standard, quelle che si studiano comunemente

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...illegittima¹⁸

Nessun testo serio di probabilità convenzionale riporta la (13). Si parla invece di ``intervallo di fiducia'', che ha però tutt'altro significato, anche se diversi testi e molti insegnanti ne suggeriscono un'interpretazione probabilistica. Senza entrare nei dettagli, ad uso di chi è familiare con questi concetti, chiariamo brevemente come la ragione di fondo di questa contraddizione sia da ricercarsi nel rifiuto di accettare l'interpretazione di probabilità come grado di fiducia. Il concetto frequentistico di intervallo di fiducia è quindi una sorta di forzatura inventata per caratterizzare l'incertezza in un modo consistente con la visione frequentistica di probabilità (vedi nel seguito). Purtroppo - è un dato di fatto - tentare di classificare lo stato di incertezza evitando il concetto di probabilità conduce a fraintendimenti. Emblematico di questi ben noti problemio è quanto risultava da una tavola rotonda fra statistici americani alla quale ho assistito in occasione del loro congresso annuale del 1996: ``i nostri studenti non capiscono gli intervalli di fiducia''.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... appreso''¹⁹

Questa osservazione deriva dalla constatazione che, come detto, la maggior parte dei fisici interpellati sia convinta in buona fede della legittimità della (13), pur sostenendo che la probabilità sia il ``limite della frequenza''.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... ``coerente''²⁰

Senza entrare nel dettaglio, chiariamo brevemente cosa si intende per ``coerente'' (o ``reversibile''): una volta fissate le quote di scommessa pro e contro l'evento (proporzionali alla probabilità dell'evento e del suo opposto), deve essere indifferente allo scommettitore il verso della scommessa: se c'è una netta propensione pro, vuol dire che bisogna alzare la quota in favore dell'evento; nel caso opposto bisogna alzare l'altra quota. Il rapporto delle quote, in condizione di indifferenza sul verso da scegliere, è una valutazione del rapporto delle probabilità. Quindi il valore della probabilità è dato dalla quota di scommessa sull'evento divisa per il totale delle quote.
Si può dimostrare che la coerenza fornisca (come teoremi!) le regole sintattiche della probabilità analoghe a quelle espresse dai ben noti assiomi. Inoltre da essa si deriva anche la relazione che lega probabilità condizionata alla probabilità congiunta evento-condizionante e a quella del condizionante (mentre nell'approccio assiomatico questa formula è una definizione, con il risultato di produrre conseguenze paradossali). Un'altro aspetto importante della coerenza è che essa fa sì che le valutazioni soggettive siano tutt'altro che ``arbitrarie''.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... l'aggiornamento²¹

Ma anche in questo caso si è imparato qualcosa, cioè che il termometro non funziona...

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... critica²²

Molto spesso si pensa che l'unico metodo scientifico valido sia quello della falsificazione. Non ci sono dubbi che, se una teoria non è in grado di descrivere i risultati di un esperimento, essa vada scartata o modificata. Ma poiché non è possibile dimostrare la certezza di una teoria, diventa impossibile decidere fra tutte le (infinite) ipotesi non falsificate. Il metodo probabilistico permette di fornire una scala di credibilità a tutte le ipotesi considerate (o rapporti di credibilità fra ogni coppia di ipotesi). Un caso in cui il metodo di falsificazione è completamente inadeguato è quello relativo agli incertezze di misura. Infatti, prendendo alla lettera tale metodo, si sarebbe autorizzati soltanto a verificare se il valore osservato sullo strumento è compatibile o no con un valore vero, niente di più. Si capisce come, con queste premesse, non si possa fare molta strada.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... osservare²³

Attenzione a non confondere la probabilità di osservare un certo valore $x$, subordinatamente ad un certo valore di $\mu$, con la probabilità del valore che è stato effettivamente osservato. Essendo questo un numero certo (a meno di non essere ubriachi), ad esso non si applica il concetto di probabilità. Così pure, si faccia attenzione a non chiamare $f(x\,\vert\,\mu)$ ``probabilità che $x$ venga da $\mu$'' (il nome corretto - trascurando il fatto inessenziale che si tratta di una densità di probabilità e non di una probabilità - è ``probabilità di $x$, dato un certo valore $\mu$'', che è chiaramente ben altra cosa!).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... dell'osservazione²⁴

Si noti l'uso dello stesso simbolo $f(\cdot)$ per indicare funzioni di diverse variabili, anche se sarebbe formalmente più corretta una scrittura della (16) del tipo:

$$\varphi(\mu\,\vert\,x) \propto {\cal L}(x\,\vert\,\mu)\cdot \pi(\mu)\,,$$

con $\varphi(\cdot)$, ${\cal L}(\cdot)$ e $\pi(\cdot)$ che ricordano dal nome, rispettivamente, la finale, la verosimiglianza (in inglese likelihood) e la prior.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... Poincar\'e²⁵

H. Poincaré, ``Scienza e Ipotesi'', molto interessante il capitolo XI sul calcolo delle probabilità.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... misura²⁶

Le prior non devono mai sparire completamente dalla mente, ma devono servire a vigilare attentamente il flusso dei dati e intervenire al minimo sospetto che qualcosa non vada!

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... Bayes²⁷

Una prior uniforme e una verosimiglianza gaussiana producono, in virtù della (17), il seguente risultato:

$$f(\mu\,\vert\,x) \propto f(x\,\vert\,\mu) \propto \exp{\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\,\sigma^2_r}\right]}$$

$$\propto \exp{\left[-\frac{(\mu-x)^2}{2\,\sigma^2_r}\right]}\,,$$

in cui nell'ultimo passaggio sono stati invertiti $\mu$ e $x$, al fine di ricordare che la variabile della nuova funzione è $\mu$ e non più $x$ (questo diventa il parametro che dà il centro della distribuzione). Ne segue che il valore vero è distribuito intorno al valore osservato secondo una gaussiana avente la stessa deviazione standard della verosimiglianza:

$$f(\mu\,\vert\,x) = \frac{1} { \sqrt{2\,\pi} \sigma_r} \exp{\left[-\frac{(\mu-x)^2}{2\,\sigma^2_r}\right]}\,.$$

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... tipo²⁸

Il fatto che il solo valore della media aritmetica sia in grado di produrre una inferenza statistica della stessa qualità dei singoli valori osservati è legato al concetto statistico di ``sufficienza''.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... media²⁹

Si ricorda che, ai fini del calcolo pratico essa è valutata come:

$$\sigma^2_n(\Delta) = \sigma^2_n(x) = \overline{x^2}-\overline{x}^2\,,$$

ove $\sigma^2_n$ sta ad indicare, secondo la convenzione delle calcolatrici tascabili, che la varianza è calcolata come media dei quadrati degli scarti.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... trascurabili³⁰

In realtà questo è una condizione non necessaria, legata ad un modo semplicistico di vedere le cose: anche se ci sono incertezze sulle ascisse, queste possono essere riflesse su quelle delle ordinate e la soluzione pratica non cambia.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... indirette³¹

Vedremo come entrano in gioco anche più per valutare effetti di errori sistematici di misure dirette.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... riproducibilità.³²

La Guida ISO definisce reproducibility (of results of measurements) ``closeness of the agreement between the results of measurements of the same measurand carried out under changed conditions of measurement'' (i risultati si intendono già corretti per eventuali errori sistematici noti).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... gaussiana³³

In realtà non c'è bisogno che la distribuzione sia normale, in quanto faremo uso soltanto delle proprietà generali della varianza. Anche dal punto di vista pratico, è più frequente il caso di una distribuzione uniforme o triangolare.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... accorgimento³⁴

Ad esempio un voltmetro può essere calibrato in modo relativo (rispetto al valore di fondo scala) utilizzando un partitore di precisione: ogni deviazione dalla linearità sarà imputato al comportamento del voltmetro e la lettura potrà essere corretta. Per fare un buon partitore economico è sufficiente prendere una ventina di resistori all'1% tutti uguali e presi nuovi dalla stessa striscia con cui sono confezionati. Le variazioni relative di resistenza sono ben inferiori all'1% e la loro combinazione riduce ancora di più le incertezze relative.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...lineare³⁵

Questo è un punto importante, ma sul quale purtroppo non possiamo entrare in dettaglio.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... quantity³⁶

Per ``grandezza d'ingresso'' la Guida ISO intende tutte le grandezze che contribuiscono alla valutazione del valore della grandezza di interesse (costanti di calibrazione, parametri di influenza, valori tabulati, risultati di esperimenti precedenti, etc.).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... riferimento''³⁷

I valori che seguono, la formula (39) e la tabella 2 sono presi da F. Kohlrausch, ``Praktische Physik'', B.G. Teubner Stuttgart 1986. La sezione 72 sulla densità dell'aria è curata da M. Kochsieck dell'istituto tedesco di metrologia di Braunschweig.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... infatti³⁸

Si noti che questa espressione è valida per variabili continue. Per variabili discrete equispaziate fra $x_{min}$ e $x_{max}$, la formula esatta è

$$\frac{x_{max}-x_{min}}{\sqrt{12}}\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}\,,$$

che tende alla deviazione standard del caso continuo quando $n$ è molto grande. Comunque, già per $n=5$ il fattore correttivo è del 20% e per $n=10$ è del 10%.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... $c$³⁹

Per quanto riguarda il numero di cifre significative, si noti come ne sia stata aggiunta una in più rispetto alle regolette usuali. Esse verranno aggiustate in seguito alla luce di $\sigma(m)$ e di $\sigma(c)$. Nel caso in cui l'esperienza non preveda un'analisi completa delle incertezze di misura sarebbe stato sufficiente scrivere $m=0.223\,$m kg$^{-1}$ e $c=-5.3\,$cm.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... soddisfacente⁴⁰

Le piccole differenze numeriche sono dovute all'uso della formula approssimata per il braccio di leva. Corretto per il fattore

$$\sqrt{\frac{n+1}{n-1}} = 1.13\,,$$

esso diventa 0.180kg, da cui ne segue un risultato praticamente identico a quello ottenuto mediante programma:

$$m = 0.2230\pm 0.0014 \,\frac{\mbox{m}}{\mbox{kg}}$$

$$c = -53.0 \pm 0.8\,$$

$$\rho(m,c) = -0.95 \,.$$

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... 1.000 kg⁴¹

Si noti come nella propagazione non si debba tener conto di un'eventuale incertezza sulla massa se essa è simile a quella dei pesetti con i quali sono state effettuate le misure, in quanto questo contributo è già compreso in $\sigma _r$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... informatiche⁴²

Questa non è una sceneggiata. Così come è vero che i dati sperimentali sono stati effettivamente presi da studenti e che l'analisi grafica l'ho fatta io prima di verificare i risultati al computer, è anche vero che, in data 25 aprile 1998, al momento di completare questo esercizio, mi sono accorto che il programma dava risultati sbagliati, in quanto dimenticava il termine di correlazione. Si trattava di un programma sviluppato da studenti durante una borsa di collaborazione, i cui risultati erano stati testati (con eccezione delle estrapolazioni, perché sembrava la parte meno critica e sulle quali erano state convenute le formule da usare).

Il valore di $\sigma(y)$ consistente con i risultati del fit dello stesso programma sarebbe dovuto essere $0.6\,$mm.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... baricentro.⁴³

Come abbiamo già fatto notare, il sistema del baricentro è molto conveniente, in quanto $\rho$ si annulla. L'espressione di $\sigma(y)$ è particolarmente semplice e istruttiva:

$$\sigma^2(y) = \sigma^2(c^\prime) + {x^\prime}^2\sigma^2(m^\prime)\,.$$

Si riconosce la combinazione in quadratura dell'incertezza dovuta all'intercetta con quella del coefficiente angolare ``proiettata'' ad una distanza $\vert x^\prime\vert$ dal baricentro.

Siccome $\sigma(y)$ deve essere invariante per traslazioni, antitrasformando da $x^\prime$ a $x$, otteniamo la formula

$$\sigma^2(y) = \frac{\sigma^2_r}{n} + (x-\overline{x})^2\sigma^2(... ...gma^2_r}{n} + \frac{(x-\overline{x})^2} {\mbox{Var}(x)} \frac{\sigma^2_r}{n}\,.$$

Si vede quindi come la previsione sull'ordinata abbia una precisione che è massima in corrispondenza del baricentro dei punti e si deteriora quando ci si allontana dalla regione in cui sono state effettuate le misure.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... differenze⁴⁴

Naturalmente, per ottenere la massima accuratezza sulla precisione dei parametri sarebbe stato meglio misurare individualmente ciascuno dei pesetti, al fine di ridurre $\sigma _r$, ma a questo livello non ne vale la pena.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... sperimentali''⁴⁵

M. Severi, ``Introduzione alla esperimentazione fisica'', Zanichelli, 1985.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... l'apprendimento⁴⁶

A mio giudizio, sapere ``tutto'' prima di andare in laboratorio può essere poco stimolante in quanto elimina l'``effetto sorpresa''. Trovo spesso utile informare gli studenti soltanto su come fare la misura ma non su quello che verrà fuori, specialmente se il risultato può essere a prima vista controintuitivo.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... uguali⁴⁷

Ad esempio, dovendo stimare una temperatura ambiente, se dicono $23\pm 10\,^\circ$C si scommette pro, se dicono $23.0\pm 0.1\,^\circ$C si scommette contro, e così via finché non si converge ad risultato di indifferenza che definisce un'intervallo di credibilità al 50%.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... tipo⁴⁸

Questa limitazione cade se si effettuano misure su grandezze fisiche aventi valori prossimi fra di loro e siamo interessati soltanto alle loro differenze.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... rapida⁴⁹

Come controesempio si immagini di avere un milione di variabili indipendenti, aventi distribuzione poissoniana con $\lambda=10^{-6}$. La somma delle variabili è ancora poissoniana, con $\lambda=1$, ben lontana da una gaussiana (in questo caso servono 10-20 milioni di contributi).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... gaussiana⁵⁰

Qualcuno potrebbe parlare di ``dimostrazione sperimentale'' della proprietà delle medie. Ma a rigore questa non è una dimostrazione. Meglio parlare di ``accordo con le previsioni''. E' vero però che questo accordo serve a rafforzare la convinzione che le valutazioni a priori siano corrette.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.