Next: Come tener conto degli
Up: Errori e incertezze di
Previous: Bisogna sempre ripetere le
  Indice
Il problema della propagazione delle incertezze è
molto più semplice dei precedenti, almeno per quanto riguarda
le questioni di principio o le stime soggettive. Infatti
``c'è poco da pensare'': si fa semplicemente uso delle tecniche del
calcolo delle probabilità per propagare l'incertezza su
variabili
di partenza in quella sulle variabili derivate.
La propagazione
entra quindi in gioco quando si effettuano, genericamente parlando,
misure indirette31.
Prima di andare avanti c'è da fare una osservazione
sulla notazione. Per alleggerire le formule indicheremo
con , , etc. direttamente i valori veri
delle grandezze (precedentemente
indicati con , , etc.)
e non più quelli osservati. Con e
saranno invece indicati i valori attesi dei valori veri
(in pratica le medie aritmetiche ottenute dalle misure dirette).
Per capire bene il problema, partiamo da variabili discrete. Per
semplicità prendiamo due grandezze,
e , che possono assumere soltanto
tre valori, con distribuzione uniforme.
Ad esempio: , , ;
, , . Essendo tutti i valori
equiprobabili abbiamo:
.
Se adesso siamo interessati alla variabile , l'incertezza
sul valore di e di si propaga sul
valore di .
Il caso discreto con tre soli valori possibili permette
di seguire il ``flusso di incertezza'', come mostrato in
tabella 17. La variabile può essere
un numero compreso fra 13 e 16, ma a differenza di e di
, i valori non sono tutti equiprobabili. Infatti, mentre
i valori estremi si possono verificare per una particolare
coppia di e di , ci sono più coppie che possono
produrre gli altri valori. In particolare, il valore
è quello più probabile semplicemente perché esso
può essere ottenuto da possibili coppie.
Tabella 1:
Combinazione di 3 valori di con 3 valori di
che danno luogo a 5 possibili valori della somma . Se si
assume l'equiprobabilità di e di si arriva ad una
distribuzione di probabilità del
tipo triangolare (discreta).
|
|
|
|
|
4 |
5 |
6 |
|
9 |
13 |
14 |
15 |
|
10 |
14 |
15 |
16 |
|
11 |
15 |
16 |
17 |
|
Un caso analogo, leggermente più complicato, è mostrato
in figura 8. Si tratta delle distribuzioni di probabilità
della somma degli esiti di
1, 2 e 3 dadi.
Figura 8:
Distribuzione della somma dei risultati ottenuti dal lancio di
dadi. La concentrazione della probabilità al centro della
distribuzione è dovuta all'elevato numero di combinazioni risultanti
in valori della somma intermedi e giustifica qualitativamente il teorema del
limite centrale.
|
Si noti il graduale l'addensamento della probabilità nei valori centrali,
dovuta ad un semplice effetto combinatorio.
Per questo motivo la deviazione standard non
cresce linearmente
con l'ampiezza massima della distribuzione. Ad esempio, combinando
due distribuzioni uniformi fra 0 e 1 (è il limite di un dado
con infinite facce), non si ottiene
, bensì
, volte più piccola (si riconosce
la deviazione standard di una distribuzione triangolare!).
Quelle che
invece crescono linearmente sono le varianze (
).
Si capisce inoltre come, per simmetria, la distribuzione delle
differenze intorno al valore centrale
debba essere uguale a quella delle somme.
Quindi, per due variabili indipendenti si ottiene la
seguente regola di propagazione:
|
(19) |
Consideriamo successivamente
una trasformazione di scala: .
Anche la scala
delle possibili fluttuazioni
si trasforma nello stesso modo e, poiché
il segno di è ininfluente, si ottiene:
|
(20) |
Combinando i risultati espressi dalle formule
(19)
e (20)
si ottiene la regola generale
della varianza di una combinazione lineare di variabili casuali.
|
(21) |
E' importante notare che
questa regola dipende soltanto dalla definizione di varianza e non
dal tipo di distribuzione di probabilità delle variabili casuali.
Dalla (21)
si ottiene la regola generale per una funzione qualsiasi,
mediante linearizzazione intorno ai valori attesi. Infatti se
indichiamo con la generica funzione delle due variabili
casuali e , abbiamo
dove contiene tutti i termini che non dipendono
dalle variabili casuali e che quindi
sono ininfluenti ai fini del calcolo della
varianza. L'ultimo passaggio è stato ottenuto
facendo uso della (21). E'
generalmente sottointeso
che le derivate vadano calcolate nel punto di migliore stima di e
di .
Il caso generale va da sé.
Si ricordi che la (22) è basata su una linearizzazione.
La funzione deve essere abbastanza lineare un certo numero
di deviazioni standard intorno alle migliori stime delle
variabili di partenza.
Questo è generalmente vero
se le sono molto minori delle stime. Se la funzione è lineare
non c'è nessun vincolo sul valore di . Ad esempio,
se , con
e
, si ha
.
Per quanto riguarda l'uso della formula di propagazione,
si raccomanda di fare una lista dei
contributi all'incertezza
totale dovuti a ciascun termine da cui la grandezza finale
dipende. Questo permette di capire quale contributo sia
maggiormente
responsabile e sul quale bisogna intervenire al momento di
pianificare un nuovo esperimento. Quindi la formula
(22) può essere riscritta nel seguente modo,
didatticamente più valido:
|
(23) |
ove con ``'' si è indicata l'operazione
di somma in quadratura. E' inoltre importante
dare alle derivate il significato
di coefficiente di sensibilità[13].
Next: Come tener conto degli
Up: Errori e incertezze di
Previous: Bisogna sempre ripetere le
  Indice
Giulio D'Agostini
2001-04-02