Breve richiamo dei concetti di probabilità

Prima di procedere alle applicazioni, ricordiamo brevemente la terminologia sulle variabili casuali.

• Sostanzialmente si assume che il concetto di probabilità sia primitivo, ovvero vicino a quello del senso comune.
• Detto altrimenti, la probabilità è una misura del grado di fiducia (o di credenza, in inglese degree of belief) che una qualsiasi affermazione risulti essere vera.
• Il valore di probabilità va da 0 a 1 per affermazioni che vanno dall'impossibile al certo.
• Siccome quanto più si crede che una certa affermazione sia vera, tanto più si è disposti a scommettere su di essa, la scommessa ``coerente'' può essere utilizzata per definire operativamente il valore di probabilità.
• Una variabile casuale, o numero aleatorio, è qualsiasi numero rispetto al quale si è in stato di incertezza. Facciamo due esempi nel contesto delle misure:
  1. Pongo un chilogrammo campione su una bilancia di laboratorio con indicazione (digitale) dei centesimi. Che valore leggerò (in grammi)? 1000.00, 999.95, 1000.03 ...?
  2. Leggo su una bilancia di laboratorio 2.315 g. Quanto vale il valore vero della massa del corpo? 2.311, 2.312, ...2.315, ...2.319, ...?
  Nel primo caso la variabile è la lettura $x$ (subordinatamente ad un certo valore vero); nel secondo caso la variabile è il valore vero $\mu$ (subordinatamente ad un certo valore letto).
• Ai possibili valori della grandezza viene associata una funzione $f(x)$ che quantifica il grado di fiducia ad essi assegnato. Quindi scrivere che $f(x_1)>f(x_2)$ sta ad indicare che si crede più a $x_1$ che a $x_2$. A seconda che la variabile $x$ sia discreta o continua, $f(x)$ ha l'accezione di funzione di probabilità o di funzione densità di probabilità.
• Tutte le distribuzioni di variabile casuale sono subordinate ad un certo stato di informazione. Utilizzando i due esempi precedenti possiamo perciò scrivere
  

  $$f(x) \longrightarrow f(x\,\vert\,\mu=1000.00)$$

  $$f(\mu) \longrightarrow f(\mu\,\vert\,x=2.315)\,,$$

  
  
  ove ``$\vert$'' si legge ``dato'', ``subordinatamente a'', etc.
• L'intero stato di incertezza sui valori della grandezza di interesse è espresso da $f(\mu)$. Da questa funzione è possibile calcolare la probabilità che la grandezza abbia un valore compreso in un certo intervallo. Per semplicità, spesso si riassume lo stato di informazione di $f(\cdot)$ in due soli numeri: E$(\cdot)$ e $\sigma$. È interessante l'interpretazione conoscitiva di queste due grandezze. Esse possono essere viste come la previsione e l'incertezza di previsione del numero aleatorio.
• Fra le distribuzioni di probabilità, quella più importante per la trattazione delle incertezze di misura è indubbiamente la ben nota gaussiana, che assumiamo nota. Altre distribuzioni interessanti per le applicazioni sono la distribuzione uniforme e la distribuzione triangolare. Ricordiamo soltanto che la deviazione standard standard di queste due distribuzioni in funzione della loro semilarghezza $\Delta$ vale
  

  $$\sigma( ) = \frac{2\,\Delta}{\sqrt{12}}= \frac{\Delta}{\sqrt{3}}$$ (9.1)

  $$\sigma( ) = \frac{\Delta}{\sqrt{6}}\,.$$ (9.2)