Singola osservazione con $\sigma _r$ nota

Si osserva $X=x$. Siccome si crede che i possibili valori dell'osservabile abbiano una distribuzione di probabilità gaussiana con

$$\sigma(X)=\sigma_r$$

intorno a $\mu$, dall'inversione di probabilità si ha che i possibili valori di $\mu$ hanno una analoga distribuzione di probabilità intorno a $x$ con

$$\sigma(\mu)=\sigma(X)=\sigma_r\,.$$

Espresso in modo sintetico:

$$X\sim {\cal N}(\mu, \sigma_R)\xrightarrow[ ]{}\mu\sim {\cal N}(x, \sigma_R)$$ (10.1)

Ne segue che

$$\mu = x \pm \sigma_r \approx 68\,\%$$

$$= x \pm 2\,\sigma_r \approx\,95\,\%$$

$$=$$ ...

Nel seguito considereremo come standard l'incertezza data ad una deviazione standard, essa è chiamata incertezza standard (vedi paragrafo 11.7).

Concludiamo questo paragrafo invitando a riflettere al significato probabilistico di espressioni del tipo $\mu = x\pm \sigma_r$ sul quale è già stato detto precedentemente e a diffitare da interpretazioni del tipo ``se io ripetessi la misura un grande numero di volte, allora nel 68,3% dei casi otterrei risultati compresi nell'intervallo $x\pm\sigma_r$'': oltre a forzature interpretative si commette un errore numerico di $\sqrt{2}$: come mai?