$n$ osservazioni indipendenti con $\sigma _r$ nota

Cominciamo con due osservazioni, ad esempio $x_1$ e $x_2$. Innanzitutto è chiaro che, alla luce di ciascuna delle due osservazioni si avrebbe:

$$\left.\mu\right\vert _{x_1} = x_1 \pm \sigma_r$$

$$\left.\mu\right\vert _{x_2} = x_2 \pm \sigma_r \,,$$

ove $\left.\mu\right\vert _{x_i}$ sta ad indicare ``$\mu$ subordinato all'osservazione di $x_i$'' (si è preferito scrivere così , anziché $\mu_1$ e $\mu_2$, per ricordare che stiamo parlando della stessa grandezza fisica). Cosa possiamo dire ora su $\mu$ alla luce di $x_1$ e $x_2$?

$$\left.\mu\right\vert _{x_1\cap x_2} = {\bf ?}$$

Dal punto di vista generale si possono percorrere tre strade diverse.

1. Si può considerare il risultato $f(\mu\,\vert\,x_1)$ come prior antecedente l'osservazione di $x_2$ e inserirla nella formula dell'inferenza bayesiana. In modo simmetrico si può rovesciare l'ordine di osservazione: prima $x_2$ e poi $x_1$. Se la procedura è corretta le conclusioni finali non devono dipendere dall'ordine.
2. In alternativa, si può considerare la verosimiglianza di osservare, dato un valore di $\mu$, la coppia $\{x_1, x_2\}$ e applicare il teorema di Bayes all'inversione:
   $$f(x_1,x_2\,\vert\,\mu) \rightarrow f(\mu\,\vert\, x_1,x_2)\,.$$

3. C'è infine un terzo modo di procedere, euristico, in quanto assume che la soluzione di prova sia quella buona e fornisce soltanto il valore dell'incertezza. Per semplicità illustriamo questo (per gli altri c'è poco da spiegare, si tratta solo di fare i conti...).

   Assumiamo, ragionevolmente, che il valore centrale intorno al quale è distribuito $\left.\mu\right\vert{x_1\cap x_2}$ sia la media aritmetica:

   $$\overline{x} = \frac{x_1+x_2}{2}\,.$$
   Subordinatamente ad un certo valore di $\mu$ anche la media aritmetica $\overline{x}$ è una variabile casuale, in quanto è funzione di variabili casuali. Anch'essa, per simmetria, ha una distribuzione di probabilità intorno a $\mu$. In questo caso il processo di inferenza è del tipo^10.3
   $$f(\overline{x}\,\vert\,\mu)\rightarrow f(\mu\,\vert\,\overline{x})\,.$$
   La differenza rispetto al caso precedente è nella diversa deviazione standard di $\overline{x}$ intorno a $\mu$. Anche se per arrivare all'esatto fattore di riduzione si rimanda ad un testo di calcolo delle probabilità (vedi anche Appendice), il risultato può essere giusticato dicendo che, essendo $x_1$ e $x_2$ indipendenti, le fluttuazioni della media tendono a compensarsi. Quantitativamente si ottiene che
   $$\sigma(\overline{x}) = \frac{\sigma(x)}{\sqrt{2}} = \frac{\sigma_r}{\sqrt{2}}\,.$$
   Quindi, utilizzando ancora una volta il ragionamento di inversione di probabilità intuitivo, possiamo dire che
   $$\sigma(\mu)=\sigma(\overline{x})= \frac{\sigma_r}{\sqrt{2}}\,.$$

In effetti si può dimostrare che tutte e tre le strade conducono al medesimo risultato. Nel caso generale di $n$ osservazioni indipendenti, si ha:

$$\sigma(\mu) = \frac{\sigma_r}{\sqrt{n}}\,,$$

da cui:

$$\mu = \overline{x} \pm \frac{\sigma_r}{\sqrt{n}}\,.$$ (10.2)

Quindi, la soluzione giusta al quesito 6 del paragrafo A.1 è quella con `` $1/\sqrt{n}$''. Ciò nonostante, è ragionevole preoccuparsi di un'incertezza che tende a zero all'aumentare di $n$. Questo induce molti a diffidare di questa formula e ignorare il $\sqrt{n}$. Ciò è dovuto alla mancanza di una visione globale del problema. La formula (10.2) è assolutamente corretta, ma non tiene conto di altre possibili cause di incertezza. Queste vanno identificate e il loro contributo va combinato insieme a $\sigma/\sqrt{n}$ in maniera appropriata (vedi paragrafo11.2).