Problemi

1. Quali dei risultati non segue la convenzione standard per le cifre significative?
   a) $234.0 \pm 1.5$;
   b) $0.5 \pm 0.053$;
   c) $1.56(1\pm0.02)$;
   d) $777 \pm 99$;
   e) $467800 \pm 500$;
   f) $(1.35\pm 0.04)10^{-23}$;
   g) $1.35\times 10^{-23} \pm 12$;
   h) $1.7653(1\pm0.05)$;
   i) $0.00345(23)$;
   l) $10.380631\, MHz \, \pm 1.0 \cdot 10^{-5}\, MHz$;
   m) $24\,m\,\pm0.01\,\%$;
2. Da rilevamenti su un grande numero di pozzi risulta che il residuo fisso dell'acqua ha un valore medio di $88.0\, mg/l$, con una deviazione standard di $25.0\, mg/l$. Quanto vale la probabilità che un pozzo abbia l'acqua con un residuo fisso maggiore di $180\, mg/l$?
3. La media aritmetica e la deviazione standard di una certa grandezza, misurata in unità arbitrarie su un campione di 10 elementi, valgono rispettivamente 142.9876192 e 24.06595568 (valori letti sul display del calcolatore). Quanto vale l'intervallo di fiducia, al $99\,\%$ C.L., della media della popolazione? Di quanto varia l'intervallo di fiducia se la stessa media e la stessa deviazione standard fossero state ottenute da 5 valori?
4. Per misurare il tempo necessario per una certa reazione, uno sperimentatore esegue, nelle stesse condizioni, 4 misurazioni. I valori ottenuti, espressi in secondi, sono 13.5, 14.2, 10.8, 13.1. Esprimere il risultato non incertezza al $68.3\,\%$ e al $95\,\%$.
5. Delle prove effettuate su una bilancia con dei pesi campione hanno mostrato che essa ben tarata e che i risultati delle singole pesate si distribuiscono intorno al valore nominale con una deviazione standard di $2.3\, mg$, indipendentemente dal peso dell'oggetto. Vengono pesati tre oggetti, il primo una sola volta e gli altri due più volte. Si ottengono i seguenti campioni di valori, espressi in grammi: {20.0045}; {0.8721, 0.8732, 0.8703}; { 0.0137, 0.0138, 0.0166, 0.0153, 0.0170, 0.0168, 0.0160, 0.0107, 0.0163, 0.0185, 0.0139, 0.0135, 0.0143, 0.0154, 0.0171 }. Dare il risultato delle tre misure con incertezza al $95\,\%$. Qual'è la misura più precisa?
6. Sui dati dell'esercizio precedente: come saranno dati invece i risultati se la deviazione standard non è nota?
   Considerare anche il caso in cui si possa ipotizzare una deviazione standard ignota ma indipendente dalla misura e confrontarlo con il caso in cui non vale questa ipotesi.
7. Osservando $5\, \mu l$ di sangue al microscopio si notano 52 cellule di un certo tipo. Quanto vale, al $95\,\%$ di probabilità la concentrazione media di tali cellule nel sangue? (Ignorare l'incertezza sul volume).
8. Vengono effettuate 8 misure di conteggio, i cui risultati si presentano circa poissoniani. La media e la deviazione standard calcolata sul campione valgono rispettivamente: $\overline{x} = 65.7$ e $s = 12.0$. Calcolare la migliore stima della media teorica della distribuzione, fornendo il risultato ad un livello di confidenza del $95\,\%$.
9. Si vuole determinare l'efficienza di un farmaco per far guarire da una certa malattia. Lo si prova su 357 persone e, di queste, 84 guariscono entro due settimane, mentre su un campione di controllo molto più grande di quello di test nessuna è guarita. a) Quanto vale, al $95\,\%$ e al $99\,\%$ l'efficienza del farmaco?
   b) Quanto deve essere grande il campione se si vuole conoscere l'efficienza con un'incertezza inferiore a 0.002 al $95\,\%$ C.L.?
   c) Un secondo farmaco, provato su 96 persone affette dalla stessa malattia, ne fa guarire 31 nello stesso tempo. Quanto vale da differenza fra l'efficienza del secondo farmaco e quella del primo?
10. Si vuole organizzare per le elezioni comunali di una grande città un ``exit poll'' anonimo per stimare i risultati delle elezioni prima dello spoglio finale. Assumiamo di aver scelto i seggi in maniera appropriata al fine di avere un campione che rifletta in media le caratteristiche dell'intera popolazione. Su quante persone va effettuato il sondaggio per ottenere, al livello di confidenza del $95\,\%$, incertezze sui risultati al di sotto di un punto percentuale per tutti i partiti che ottengano fra il 10 e il $35\,\%$ dei suffragi?
11. Secondo la prima legge di Mendel sull'ereditarietà, se si incrociano individui che presentano un carattere dominante e provenienti da una linea pura ( ovvero sono omozigoti ) con individui anch'essi provenienti da una linea pura, ma che presenta il carattere recessivo, si otterrano tutti individui eventi il carattere dominante.
    Mendel effettuò 19939 incroci fra diversi caratteri dei piselli ( vedi es. 4 del capitolo 12 ), ottenendo tutti caratteri dominanti. Basandosi soltanto sui risultati di questi esperimenti, cosa si può dire circa la probabilità che in un incrocio la legge di Mendel sia violata?
12. In uno degli esperimenti, Mendel incrociò piselli dai semi rugosi con piselli dai semi lisci, con entrambe le varietà provenienti da linee pure. Il risultato fu quello di avere tutti piselli dai semi lisci. Successivamente, nella seconda generazione, lasciò che le piante si autofecondassero ed ottenne 5474 casi di semi lisci e 1850 casi di semi rugosi. Quanto vale la probabilità di avere un individuo dal carattere dominante nella seconda generazione? Utilizzando i limiti dell'intervallo di confidenza trovato, dare il risultato anche in termini del rapporto fra frequenza del carattere dominante e frequenza del carattere recessivo.
13. Di una grandezza fisica introdotta da un gruppo di teorici si sa che essa, per definizione, deve avere un valore compreso fra -1 e 1 (unità arbitrarie). Al di là del valore accurato della grandezza, difficile da misurare, è molto importante per la comunità dei fisici sapere almeno se essa è minore di -0.5, maggiore di 0.5 o prossima a zero, per implicazioni su altre teorie. Un esperimento, progettato per determinare il valore di tale grandezza, è in grado di fornire un valore misurato distribuito intorno al valore vero secondo una normale con deviazione standard 0.20. Dopo anni di lavoro e complicate analisi si trova il valore di 0.75. Quanto vale la probabilità che il valore della grandezza fisica sia maggiore di 0.5? Determinare anche il limite inferiore al $95\,\%$.
14. Si vuole misurare la radioattività di una certa stanza mediante l'uso di un contatore Geiger, esprimendo il risultato in conteggi al secondo. In due minuti si misurano 2250 conteggi.
    a) Quanto vale il livello di radioattività al $95\,\%$?
    b)Il giorno dopo viene effettuata una sola misura di 1 minuto, ottenendo 1021 conteggi. Cosa si può dire sulla variazione del livello di radioattività?
15. Un campione di sostanza di $1\,\mu g$ è osservato al microscopio. In esso si trovano 171 particelle di impurità. Supponendo che queste particelle si presentano sempre a gruppi di 3, stimare quanto vale la concentrazione di impurità nel materiale, fornendo il risultato al $95\,\%$ C.L..
16. $(\,\diamondsuit\,)$ Un giornale effettua un sondaggio preelettorale su un campione di 437 persone. Sulla tabella che riporta i risultati si legge che il $19.68\,\%$ degli elettori voterebbe il partito A. Supponiamo che il sondaggio sia stato effettuato su un campione significativo della popolazione. Quale sarebbe la maniera più corretta di presentare in risultato?
17. $(\,\diamondsuit\,)$ Viene eseguita una serie di 150 misure, ottenendo $\overline x = 25.7$ e $s = 20.4$. Quanto vale la probabilità che, eseguendo un'altra serie di 150 misure sulla stessa grandezza fisica e nelle stesse condizioni, la media aritmetica sia maggiore o uguale di 27.4 ?
18. $(\,\diamondsuit\,)$ Sui dati del problema precedente: quanto vale invece la probabilità che una singola misura dia un risultato maggiore o uguale di 27.4?
19. $(\,\diamondsuit\,)$ Viene eseguita una serie di 100 misure, ottenendo $\overline x = 0.0$ e $s = 10.0$. Quanto vale la probabilità che eseguendo un'altra serie di 100 misure sulla stessa grandezza fisica e nelle stesse condizioni la media aritmetica sia compresa nell'intervallo [-1.4, 1.4]?
20. $(\,\diamondsuit\,)$ Un campione di sangue è osservato al microscopio e si osservano 72 paricelle di un certo tipo. Quanto vale la probabilità di contare, in altro campione di sangue proveniente soggetto ed osservato nelle stesse condizioni, un numero di particelle maggiore di 84?
21. Si utilizza un contatore per misurare il numero di decadimenti per unità di tempo di una sorgente radioattiva. Si hanno a disposizione 6400 secondi per effettuare la misura. Discutere se, al fine del calcolo dell'incertezza sulla quantità da misurare, è preferibile basarsi sul numero di conteggi totali registrati nei 6400 secondi, oppure è meglio utilizzare la distribuzione dei conteggi ottenuta in 100 intervalli di 64 secondi ciascuno.