Coefficiente di correlazione

A questo punto, avendo introdotto nel paragrafo 11.2.4 il concetto di correlazione fra valori di grandezze fisiche che hanno incertezze comuni e avendo mostrato la loro importanza nelle inferenze successive, introduciamo il coefficiente di correlazione^11.5. Esso è indicato con $\rho(\mu_1,\mu_2)$, può avere valori compresi fra -1 e 1 ed è atto a misurare il grado di correlazione (lineare^11.6) fra le due grandezze. Il concetto intuitivo (nell'applicazione alle misure) è il seguente

• $\rho(\mu_1,\mu_2)> 0$ sta ad indicare che, se il valore vero $\mu_1$ è maggiore di quello stimato, anche il valore vero $\mu_2$ è maggiore del corrispondente valore stimato;
• se $\rho(\mu_1,\mu_2)<0$, ad una sovrastima di una grandezza corrisponde una sottostima dell'altra;
• se $\rho(\mu_1,\mu_2)=0$, sovrastime e sottostime dei due valori sono indipendenti.

È chiaro quindi che, nel caso di errori di zero e di scala, il coefficiente di correlazione fra due grandezze misurate direttamente con lo stesso strumento può essere soltanto $\ge 0$: tutti i valori saranno eventualmente mal determinati nello stesso verso.

Per quanto riguarda l'entità delle possibili sovrastime e sottostime, si può dimostrare che esse sono misurate in termini della deviazione standard:

se $\mu_1$ è sovrastimato di $k$ volte $\sigma(\mu_1)$, allora $\mu_2$ è sovrastimato di $k$ volte $\rho(\mu_1,\mu_2)\, \sigma(\mu_2)$.

Spesso si fa uso anche di un'altra grandezza per quantificare le correlazioni, sebbene in modo molto meno immediatamente percepibile. Essa è la covarianza, indicata con Cov$(\mu_1,\mu_2)$ e legata al coefficiente di correlazione da

$$(\mu_1,\mu_2) = \rho(\mu_1,\mu_2) \sigma(\mu_1) \sigma(\mu_2)\,.$$ (11.23)

Si noti come la covarianza abbia dimensioni che sono il prodotto delle dimensioni delle due grandezze. Per questo è difficile dal suo valore farsi un'idea intuitiva dell'entità delle correlazioni.