Formalismo della matrice di covarianza

Riscriviamo la formula generale (11.26) nel seguente modo

$$\sigma_{Y_{kl}} = \sum_{i} \frac{\partial Y_k}{\partial X_i} \left( \sum_{j}\sigma_{X_{ij}} \frac{\partial Y_l}{\partial X_j}\right)\,.$$ (11.30)

Si riconosce un operazione fra matrici del seguente tipo:

$${\bf V}_Y = {\bf M}{\bf V}_X{\bf M}^T\, ,$$ (11.31)

ove ${\bf V}_Y$ sta per la matrice di covarianza delle $Y$, ${\bf V}_X$ per la matrice di covarianza delle $X$ e $\bf M$ per la matrice $m\times n$ delle derivate delle $Y$ rispetto alle $X$. Esplicitamente:

$${\bf V}_X = \left( \begin{array}{ccc} \sigma^2(X_1) & \mbox{Cov}(X_1,X_2) & \... ...gma^2(X_2) & \cdots \\ & & \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array}\right)$$ (11.32)

$${\bf V}_Y = \left( \begin{array}{ccc} \sigma^2(Y_1) & \mbox{Cov}(Y_1,Y_2) & \... ...gma^2(Y_2) & \cdots \\ & & \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array}\right)$$ (11.33)

$${\bf M} = \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial Y_1}{\partial X_1} & \fr... ...al X_2} & \cdots \\ & & \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array}\right)\,.$$ (11.34)

Chiaramente, questo è semplicemente un modo formale più compatto di vedere la propagazione di incertezze e correlazioni nell'approssimazione lineare, e non contiene niente di più profondo che non sia già nella (11.26).