Capitolo 10

1. Non corretti: b), g), h) e m).
2. $\le 7.4\,\%$. ( Che distribuzione di probabilità seguono le misure?)
3. $143\pm 25$;
   $n=5$: $143\pm 49$.
   
4. $68.3\,\%$ C.L.: $t=(12.9\pm 0.9)\, s$, ovvero $12.1 \le t\le 13.8\, s$;
   $95\,\%$ C.L.: $t=(12.9\pm 2.3)\, s$, ovvero $10.6 \le t\le 15.2\, s$;
5. $n=1$: $(20.0045\pm 0.0045)\, g$ ( $\widehat{=} 0.022\,\%$);
   $n=3$: $(0.8719 \pm 0.0026)\, g$ ( $\widehat{=} 0.30\,\%$;
   $n=15$: $(0.0153 \pm 0.0012)\, g$ ( $\widehat{=} 7.8\,\%$).
   La misura più precisa, ovvero quella che ha il più basso errore percentuale, è la prima.
6. Varianze ignote: $n=1$: $(20.0045\pm ??) \, g$;
   $n=3$: $(0.8719 \pm 0.0036)\, g$;
   $n=15$: $(0.0153 \pm 0.0011)\, g$.
   Se si suppone che la deviazione standard della singola pesata sia la stessa per le tre misure, la migliore stima di essa è ottenuta dal campione di 15 misurazioni ( in realtà si può anche combinare l'informazione del campione di tre misurazioni, pesando le due varianza con il numero di gradi di libertà, ma l'influenza è minima ): $s = 0.0020\, g$. Nella stima degli intervalli di fiducia bisogna considerare una $t$ di Student con $\nu = 14$, in quanto quello che conta non è il numero di dati utilizzati per calcolare la media, ma quello per stimare la deviazione standard:
   $n=1$: $(20.0045\pm 0.0043)\, g$;
   $n=3$: $(0.8719 \pm 0.0025)\, g$;
   $n=15$: $(0.0153 \pm 0.0011)\, g$.
7. $10.4 \pm 2.8\, cellule/\mu l$ al $95\,\%$ C.L..
8. $\mu ( \equiv \lambda) = 65.7 \pm 5.6$ ( e non $66 \pm 10$ !).
9. 1. $95\,\%$ C.L.: $\epsilon = (23.5\pm 4.4)\,\%$;
      $99\,\%$ C.L.: $\epsilon = (23.5\pm 6.1)\,\%$.
   2. $180^.000$ persone: praticamente impossibile.
   3. $95\,\%$ C.L.: $\epsilon_1 = (32.3\pm 9.3)\,\%$;
      $\epsilon_1 - \epsilon = 8.8 \pm 10.3$ al $95\,\%$ C.L.. Quale dei due farmaci è migliore?
10. $n > 3.84\cdot p\cdot (1-p)\cdot 10^{4} > 8736\approx 9000$
11. Al $95\,\%$ C.L. la frazione di incroci che violano la legge di Mendel è minore di $1.5\cdot 10^{-4}$.
    Per ottenere risultati del genere bisogna avere piante omozigote con purezze del $99.995\,\%$ e un simile controllo sull'assenza di fecondazioni spurie dovute ad insetti, vento, etc. I risultati hanno dell'incredibile.
12. $p=0.747\pm 0.005$; $r = 2.95\pm 0.08$.
13. 
    

    $$f(\mu\vert x=0.75) = \frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi} 0.20} \exp{ \frac{(\mu-0.75)^2}{2\cdo... ...{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{2\pi} 0.20} \exp{\frac{(\mu-0.75)^2}{2\cdot 0.20^2}}d\mu}$$

    $$= 1.12\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi} 0.20} \exp{ \frac{(\mu-0.75)^2}{2\cdot 0.20^2} } \hspace{0.5 cm} (-1 \le \mu \le 1)$$

    $$1-F(0.5) = 88\,\%\,.$$

    
    
    $\mu > 0.43$ al $95\,\%$ C.L..
14. a) $r_1 = (18.8 \pm 0.8)\, cont/s$;
    b) $r_2 = (17.0 \pm 1.0)\, cont/s$;
    $r_1-r_2 = (1.8 \pm 1.3)\, cont/s$. L'intervallo di fiducia della differenza non comprende lo 0. Cosa significa?
15. $171\pm 45\, particelle/\mu g$ (a seguire la distribuzione di Poisson non è il numero di particelle, bensì il numero di tripletti di particelle).
16. • $\widehat p = 0.1968$; $\widehat\sigma(p) = 0.019$, da cui, al $95\,\%$ C.L.: $16.0 \le p \le 23.4$, oppure $19.7\pm3.7\,\%$.
    • ricaviamoci di nuovo la soluzione attaverso il seguente ragionamento: dal valore di percentuale riportato dal giornale si ricava che il numero di persone che ha dichiarato di votare per il partito A è 86. Questo numero rappresenta la migliore stima del valore aspettato della variabile, da cui segue che la migliore stima di $p$ è 0.1968 ( stiamo andando a ritroso ). La migliore stima della varianza della variabile casuale è $(0.1968)\cdot (1-0.1968)\cdot 437 = 69$. Otteniamo quindi 8.3 come migliore stima della sua deviazione standard e quindi la migliore stima della deviazione standard di $p$ è 8.3/437=0.019.
    • Come mai in questo caso, nel calcolo dell'intervallo di fiducia, non c'è bisogno di dividere per $\sqrt{n}$?
17. • $23.5\,\%$ ( e non $15.4\,\%$ ! ).

18. • $46.7\,\%$.

19. • $68.3\,\%$.
20. • Ovviamente la probabilità non è intorno al $9\,\%$, ma molto più grande. Vedi anche i problemi 20 e 25 (*** attenzione alla numerazione ***).
    *** soluzione ***
    • $17\,\%$.
21. • 1. Una sola misura da 6400 secondi: $\lambda = 6400\cdot v$.
         

         $$\widehat{\lambda} = E[X] = \lambda = 6400\cdot v$$

         $$\widehat{\sigma}(x) = \sqrt{\lambda} = 80 \cdot \sqrt{v}$$

         $$\widehat{v} = \frac{\widehat{\lambda}}{6400} = v$$

         $$\widehat{\sigma}(v) = \frac{v}{80}$$

         
         

      2. 100 misure da 64 secondi $\lambda = 64\cdot v$:
         

         $$\widehat{\lambda} = E[\overline{X}] = \lambda = 64\cdot v$$

         $$\widehat{\sigma}(\overline{x}) = \frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt{100}} = \frac{8\cdot\sqrt{v}}{10}$$

         $$\widehat{v} = \widehat{\lambda}/64 = v$$

         $$\widehat{\sigma}(v) = \frac{\widehat{\sigma}(\overline{x})}{64} = \frac{v}{80}$$

         
         

      L'incertezza di tipo A che si ottiene dai due metodi è esattamente lo stesso e, se così non fosse, significherebbe che uno dei due metodi è errato ( o che lo sono entrambi ). Chiamando con $n_s$ il numero di secondi della misura e $n_m$ il numero di misure l'incertezza atteso sulla grandezza fisica è sempre $v/\sqrt{n_s\cdot n_m}$. Ovviamente il secondo metodo permette di controllare se ci sono eventuali derive con il tempo del valore vero ed è da preferire se lo sperimentatore è in grado di sobbarcarsi i costi aggiuntivi - in senso lato - che il registrare molte misure comporta.