Capitolo 11

1. $y_{min} = 1$, $y_{max} = 27$; $P(Y \le 8) = 50\,\%$; $P(Y > 14) = 19.7\,\%$.
2. a) 95% C.L.: $32.5 \le V \le 37.6 \, cm^3$, o $V = 35.0\pm 2.6$;
   b) idem
3. a) $l_2-l_1 = (7.069 \pm 0.020)\, cm$;
   $p = (35.150 \pm 0.040)\, cm$;
   $d = (13.395 \pm 0.013)\, cm$;
   $A = (64.73 \pm 0.20)\, cm^2$.
   

   b) $\tan \theta = 0.4263\pm 0.0013$;
   

   c) Le precisioni su $l_1$, $l_2$, $l_2-l_1$, $p$, $d$, $A$ e $\tan \theta$ sono, espresse in %, rispettivamente 0.29, 0.11, 0.11, 0.097, 0.31 e 0.31.

4. a) $l_2-l_1 = (7.069 \pm 0.012)\, cm$;
   $p = (35.150 \pm 0.050)\, cm$;
   $d = (13.395 \pm 0.016)\, cm$;
   $A = (64.73 \pm 0.24)\, cm^2$.
   

   b) $\tan \theta = 0.42631 \pm 0.00023$;
   

   c) Le precisioni su $l_2-l_1$, $p$, $d$, $A$ e $\tan \theta$ sono, espresse in %, rispettivamente 0.17, 0.14, 0.12, 0.37 e 0.054.

5. $\sigma(r) =\sigma(p)/(1-p)^2$. $r= 2.95\pm 0.09$.
   Praticamente lo stesso risultato.
6. $p_l < 0.8\,\%.$
7. E' lecito passare attraverso variabili intermedie per fare i conti, purché ci si ricordi che queste possono essere correlate. In questo caso $\rho(s,d) = +0.892$. Tenendo conto della correlazione, il calcolo conduce allo stesso risultato che si otterrebbe con la formula generale di propagazione degli errori: $0.3546\pm 0.0040$.
   In quale caso $\rho(s,d)$ è negativo? Ci si può giustificare intuitivamente il segno?
8. • $\widehat\lambda_1 = 1200$, $\widehat\sigma_1 = 35$; $\widehat\lambda_2 = 1050$, $\widehat\sigma_1 = 32$.
     $\widehat\Delta = 150$, $\widehat\sigma_{\Delta} = 47$.
     $58 \le \Delta \le 242$ al $95\,\%$ di confidenza. Lo zero non è compreso nell'intervallo^12.9.
     Considerando la variabile $Z$: $\tilde Z = 3.16$. Entrambi i test consigliano di rifiutare l'ipotesi al livello di confidenza prefissato.
   • Per rispondere all'ultima domanda consideriamo separatamente le tre variabili:
     1. Variabile $Z$: si tratta di valutare la probabilità che la variabile gaussiana standardizzata assuma in modulo valori superiori a quello osservato: $P(\vert Z\vert > \vert\tilde Z\vert)$. Sulle tabelle non è riportato il valore 3.16, mentre $P(\vert Z\vert > 3.0) = 0.27\,\%$ e $P(\vert Z\vert > 3.5) = 0.05\,\%$. Diciamo quindi che $P(\vert Z\vert > 3.16)$ è dell'ordine dell'1-2 per mille.
     2. Variabile $\Delta$: la distribuzione del valore vero di $\Delta$ è una gaussiana, centrata intorno a 150 e avente una deviazione standard di 47. Si potrebbe pensare di calcolare $P(\Delta \le 0)$. Il risultato sarebbe allora la metà di quanto ottenuto nel caso precedente. Ciò è dovuto al fatto che noi abbiamo arbitrariamente calcolato $\Delta$ come 1200-1050 e non viceversa. Prendendo in considerazione anche questo caso riotteniamo il fattore 2 mancante^12.10.
     3. Variabile $\chi^2$: se assumiamo che i due risultati derivino dallo stesso valore vero incognito la migliore stima di quest'ultimo vale $\widehat\lambda = 1125$ [ par. 8.5.3, es. 3], da cui
        

        $$\tilde\chi^2 = \frac{(1200-1125)^2}{1125} + \frac{(1050-1125)^2}{1125}$$

        $$= 10$$

        
        
        Da notare come al denominatore compaia entrambe le volte 1125 in quanto migliore stima della varianza teorica^12.11. Il numero di gradi di libertà è pari a $\nu = 2 - 1 = 1$. Si trova quindi sulle tavole la probabilità $P(\chi^2_1 > 10)$. Essa è leggermente superiore a 0.001, in accordo con gli altri due metodi.
9. • 1. 
        

        $$p = 2(a + b)\,;$$

        $$\sigma^2_p = 4\sigma^2_a+4\sigma^2_b+2\cdot 4 \cdot \rho \cdot \sigma_a \sigma_b\, ,$$

        
        
        ovvero $p=131.8\pm 1.8\, mm$ ( $\pm1.4\, mm$ trascurando $\rho_{ab}$).
        

        $$A = a\cdot b\,;$$

        $$\frac{\sigma^2_A}{A} = \frac{\sigma^2_a}{a} +\frac{\sigma^2_b}{b} + 2\cdot \rho \cdot \frac{\sigma_a}{a} \cdot \frac{\sigma_b}{b}\, ,$$

        
        
        ovvero $A=921\pm 30\, mm^2$ ( $\pm 25\, mm^2$ trascurando $\rho_{ab}$)
        La differenza vale $d=b-a=25.7\pm 0.4\, mm$ ( $\pm 0.7\, mm$ trascurando $\rho_{ab})$
     2. 
        

        $$Cov(p,A) = 2b\sigma^2a+ 2a\sigma^2_b+ (2a+2b)\rho_{ab}sigma_a\sigma_b = 52.7 mm^3\, ,$$

        
        
        da cui $\rho_{p,A} = 57.7/(1.8\cdot 30) = 0.98$.
     3. 
        

        $$r = \frac{A}{p}\, ;$$

        $$\left(\frac{\sigma_r}{r}\right)^2 = \left(\frac{\sigma_A}{A}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_p}{p}\righ... ... \rho_{p,A} \left(\frac{\sigma_p}{p}\right) \left(\frac{\sigma_A}{A}\right)\, ,$$

        
        
        da cui $r=6.99\pm0.14$ ($\pm 0.25$ trascurando $\rho_{p,A})$.
     4. 
        

        $$r = \frac{ab}{a+b}\, ,$$

        $$\sigma_r^2 = \left(\frac{b^2}{2(a+b)^2}\right)^2\sigma^2_a + \left(\frac{a^2}{... ...2}\right)^2\sigma^2_b + \frac{a^2b^2}{2(a+b)^4} \rho_{a,b} \sigma_a\sigma_b\, ,$$

        
        
        riottendendo da cui $r=6.99\pm0.14$ ($\pm 0.12$ trascurando $\rho_{a,b}$).
10. • $Cov(s,d) = \sigma_a^2 - \sigma_b^2 = 0$. Quindi il procedimento fornisce lo stesso risultato di quello corretto.
11. • $c_1 = 2356\pm 49$, $c_2= 2012\pm 45$.
      $(\sigma(r)/r)^2 = (\sigma(c_1)/c_1)^2 + (\sigma(c_2)/c_2)^2 = 1/c_1 + 1/c_2$;
      $r = 0.854 \pm 0.026$ .
12. • $n_c = 1152\pm 34$; $\epsilon = 0.950\pm 0.007$;
      

      $$\phi = \frac{n_c}{a\cdot b\cdot t\cdot \epsilon}$$

      $$\left(\frac{\sigma_{\phi}}{\phi}\right)^2 = \left(\frac{\sigma_{n_c}}{n_c}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_{a}}... ...rac{\sigma_{t}}{t}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_{\epsilon}}{\epsilon}\right)^2$$

      
      

    • Elenchiamo le varie incertezze percentuali e il risultato finale:
      

      $$\frac{\sigma_{n_c}}{n_c} = 3.0\cdot 10^{-2} = 3.0\,\%$$

      $$\frac{\sigma_{a}}{a} = 6.7\cdot 10^{-3} = 0.67\,\%$$

      $$\frac{\sigma_{b}}{b} = 1.0\cdot 10^{-3} = 0.10\,\%$$

      $$\frac{\sigma_{t}}{t} = 1.0\cdot 10^{-2} = 1.0\,\%$$

      $$\frac{\sigma_{\epsilon}}{\epsilon} = 7.4\cdot 10^{-3} = 0.74\,\%$$

      $$\frac{\sigma_{\phi}}{\phi} = 3.3\cdot 10^{-2} = 3.3\,\%$$

      $$\phi = 0.808\pm 0.027\,\frac{neutroni}{cm^2s}$$

      
      

    • I risultati sono compatibili ( $\phi_2-\phi_1 = 32\pm 32 \,\frac{neutroni}{cm^2\cdot s}$ ).
      La media pesata dei due risultati è
      $$\phi = 0.831\pm 0.014\,\frac{neutroni}{cm^2\cdot s}.$$
      e l'intervallo di fiducia al $95\,\%$ è
      $$0.804 \le \phi \le 0.858 \ \frac{neutroni}{cm^2\cdot s}.$$

13. • La somma quadratica dei contributi all'incertezza relativo che non dipendono dal tempo è pari al'$1.0\,\%$. L'incertezza percentuale sul tempo va come $1/t$, mentre quello sul numero di conteggi va come $1/\sqrt{t}$. L'incertezza percentuale su $\phi$ diventa rispettivamente $2.4\,\%$, $1.4\,\%$ e $1.0\,\%$. Mentre decuplicare la prima volta il tempo di misura è servito ad diminuire l'incertezza di un fattore 2, decuplicarlo una seconda volta lo ha ridotto soltanto del $30\,\%$ ed andare oltre non serve più a niente.
    • Se anche $a$ è misurato allo $0.1\,\%$ e $t\rightarrow\infty$, la somma quadratica di tutti i contributi all'incertezza relativa ( ad esclusione di quella dovuto all'incertezza sull'efficienza ), è pari a $0.14\,\%$. Si richiede quindi che anche $\sigma_{\epsilon}/\epsilon$ sia pari allo $0.14\,\%$, ovvero 5.3 volte più piccolo di quello attuale. Si dovrà misurare $\epsilon$ inviando sul rivelatore $\approx 28000$ neutroni.
14. • $\widehat{P}(0) = 88/10000 = 0.0088$;
      $\widehat{\sigma} = \sqrt{0.088\cdot (1-0.088)}/\sqrt{10000} = 9.3\cdot 10^{-4}$
      $P(0) = (8.8 \pm 0.9) \cdot 10^{-3}$;
      $\lambda = -\ln{P(0)} = 4.73\pm 0.11$. Da notare come la precisione su $\lambda$ sia maggiore di quella su $P(0)$; come mai?
15. • Chiamando $x=n_1$ e $n=n_1+n_2$ si ottiene $p=0.472\pm 0.018$ (1 $\sigma$), ovvero l'intervallo di fiducia al $95\,\%$ è $0.437 \le p \le 0.507$. Entro le incertezze il processo è simmetrico.
    • usiamo ora la variabile ''asimmetria'' e calcoliamo l'incertezza in due modi diversi. Chiamiamo $n$ il numero totale di eventi, $f_1 = n_1/n$ e $f_2 = n_2/n$ le frequenze relative^12.12.
      1. 
         

         $$A = \frac{n_1 - n_2}{n_1+n_2} = \frac{2 n_1}{n}-1 = 2 f_1 - 1$$

         $$\sigma^2(A) = 4 \sigma^2(f_1) = 4\cdot \frac{f_1\cdot (1-f_1)}{n}$$

         $$\sigma(A) = 2\sqrt{\frac{f_1\cdot (1-f_1)}{n}} = \frac{2}{n}\sqrt{\frac{n_1\cdot n_2}{n}}$$

         
         

      2. 
         

         $$A = \frac{n_1 - n_2}{n_1+n_2} = f_1 - f_2$$

         $$\sigma(f_1) = \sqrt{\frac{f_1\cdot (1-f_1)}{n}}$$

         $$\sigma(f_2) = \sqrt{\frac{f_2\cdot (1-f_2)}{n}} = \sigma(f_1)$$

         
         
         Il fatto che le deviazioni standard siano uguali deriva chiaramente dalla simmetria fra $p$ e $q$ nella distribuzione binomiale. $f_1$ e $f_2$ non sono indipendenti, anzi esse sono anticorrelate al $100\,\%$: $\rho (f_1,f_2) = -1$. Segue allora:
         

         $$Cov(f_1,f_2) = -\frac{f_1\cdot (1-f_1)}{n}$$

         $$\sigma^2(A) = \sigma^2(f_1) + \sigma^2(f_2) - \left(-\frac{f_1\cdot (1-f_1)}{n}\right)$$

         $$= \frac{4\cdot f_1\cdot (1-f_1)}{n}$$

         $$\sigma(A) = 2\sqrt{\frac{f_1\cdot (1-f_1)}{n}} = \frac{2}{n}\sqrt{\frac{n1\cdot n_2}{n}}$$

         
         

      Entrambi i metodi portano allo stesso risultato. Si ottiene quindi $A = -0.056 \pm 0.036$ ( 1 $\sigma$ ), da cui l'intervallo di fiducia al $95\,\%$ C.L. $-0.126 \le A \le 0.014$.
    • Sia lo studio del parametro $p$ della binomiale che quello della variabile $A$ portano alla conclusione che la asimmetria osservata non è statisticamente significativa.

16. • 
      

      $$\sigma^2(A) = \left(\frac{2n_2}{(n_1+n_2)^2}\right)^2 \cdot n_1 + \left(\frac{2n_1}{(n_1+n_2)^2}\right)^2 \cdot n_2$$

      $$\sigma(A) = \frac{2}{n}\sqrt{\frac{n_1\cdot n_2}{n}}$$

      $$A = -0.056 \pm 0.36 \,.$$

      
      
      Come mai viene lo steso risultato?
17. • 
      

      $$\frac{\sigma(e)}{e} = 3.035\cdot 10^{-7}$$

      $$\frac{\sigma(h)}{h} = 5.985\cdot 10^{-7}$$

      $$\frac{Cov(e,h)}{eh} = 1.8116\cdot 10^{-13}$$

      $$\rho (e,h) = 0.9972$$

      $$\alpha = 7.29735307\cdot 10^{-3} = (137.0359898)^{-1}$$

      $$\frac{\sigma^2(\alpha)}{\alpha^2} = 4\frac{\sigma^2(e)}{e^2} + \frac{\sigma^2(h)}{h^2} - 4\frac{Cov(e,h)}{eh}$$

      $$= 3.684\cdot 10^{-13} + 3.582 \cdot 10^{-13} - 7.246\cdot 10^{-13}$$

      $$= 0.020 \cdot 10^{-13}$$

      $$\frac{\sigma(\alpha)}{\alpha} = 4.5\cdot 10^{-8}$$

      
      
      Ignorando il termine di correlazione si sarebbe sovrastimata $\sigma(\alpha)$ di un fattore 10.
    • I risultati^12.13 possono essere presentati nel seguente modo:
      

      $$e = (1.60217733 \pm 0.00000049)\cdot 10^{-19}\,C$$

      $$h = (6.6260755 \pm 0.0000040)\cdot 10^{-34}\,J\cdot s$$

      $$\alpha^{-1} = 137.0359898 \pm 0.0000061$$

      
      
      oppure
      

      $$e = 1.60217733(49)\cdot 10^{-19}\,C$$

      $$h = 6.6260755(40)\cdot 10^{-34}\,J\cdot s$$

      $$\alpha^{-1} = 137.0359898(61)$$

      
      
      L'incertezza relativa, per misure molto precise, è espresso in parti per milione (ppm). Quindi le precisioni con cui le grandezze fondamentali $e$, $h$ e $\alpha$ sono state ottenute dal fit del 1986 sono di 0.30, 0.60 e 0.045 ppm.

18. • 
      

      $$x = r\cos \theta$$

      $$y = r\sin \theta$$

      $$\sigma^2(x) = \cos^2\theta\cdot\sigma^2(r) + r^2\sin^2\theta\cdot\sigma^2(\theta)$$

      $$\sigma^2(y) = \sin^2\theta\cdot\sigma^2(r) + r^2\cos^2\theta\cdot\sigma^2(\theta)$$

      $$Cov(x,y) = \sin\theta\cdot\cos\theta\left[ \sigma^2(r) - r^2\cdot\sigma^2(\theta)\right]$$

      
      
      E' da notare come per $0^\circ$ e per $90^\circ$ la covarianza si annulla, come si può capire osservando che, per esempio, a $0^\circ$ l'incertezza su $x$ è determinata da quella su $r$, mentre l'incertezza su $y$ dipende da quella sulla misura dell'angolo ( e dal valore di $r$ ); a $90^\circ$ si scambiano i ruoli. La covarianza si annulla inoltre identicamemte per qualsiasi valore di $\theta$ se l'incertezza sulle coordinate dovuta a $\sigma(r)$ uguaglia quella dovuta a $\sigma(\theta)$.
    • $\sigma(\theta) = 2.9\cdot 10^{-3}\, rad$; $\sigma(r) = 0.2\, cm$. I risultati sono riportati nella seguente tabella:
      
      
      

      $\theta$	$x$	$\sigma(x)$	$y$	$\sigma(y)$	$Cov(x,y)$	$\rho(x,y)$
      	$(cm)$	$(cm)$	$(cm)$	$(cm)$	$(cm^2)$
      $0^\circ$	0.0	0.6	200.0	0.2	0	0
      $45^\circ$	141.4	0.4	141.0	0.4	-0.15	-0.93
      $90^\circ$	200.0	0.2	0.0	0.6	0	0

      
      
      

19. • La migliore stima di $E$ è pari a $12.3\cdot 10^{9}\, eV = 12.3\, GeV$. Nel seguito tutte le energie verranno espresse in $GeV$. Dalla propagazione delle incertezze relative otteniamo che l''incertezza su $\beta$ è dello $0.14\,\%$, cioè $\beta = 0.9971\pm 0.0014$.
    • Calcoliamo $\sigma(E)$ dalla propagazione delle incertezze:
      $$\sigma(E) = \frac{2\beta mc^2}{(1-\beta^2)^{3/2}} \sigma (\beta) = 5.9\, GeV\, .$$
      Utilizzando questa deviazione standard otteniamo che al $68.3\,\%$ $6.4 \le E \le 18.2$; al $95\,\%$ $0.7 \le E \le 23.9$; $99\,\%$ $0 \le E \le 27.5$. L'ultimo estremo inferiore è stato posto a 0 in quanto $12.3 - 2.58\cdot 5.9$ è negativo. Esso è chiaramente assurdo, nel senso che è in contraddizione con il valore misurato di $\beta$, e addirittura con il valore dell'energia corrispondente alla massa a riposo ( $mc^2$ ) della particella .
    • Calcoliamo invece gli estremi degli intervalli di fiducia di $E$ dagli estremi degli intervalli di fiducia di $\beta$: al $68.3\,\%$ $10.1 \le E \le 17.1$; al $95\,\%$ $8.8 \le E \le 52.4$; al $99\,\%$ $8.2 \le E < \infty$;
    • La differenza fra i due risultati deriva dal fatto che la relazione fra $\beta$ ed $E$ non è sufficientemente lineare nell'intervallo di $\beta$ considerato e quindi la propagazione delle incertezze non è applicabile. I risultati ottenuti con il secondo metodo sono quelli giusti.

20. • La distribuzione del tempo di partenza è uniforme:
      $10:52 < t_p < 10:53$, $11:17 < t_a < 11:18$. $T = 1500\, s$, $\sigma(T) = 24\, s$.
      $v = 3.333 \pm 0.054 \, m/s$ al $68.3\,\%$ C.L. usando $\sigma(T)$.
      La distribuzione della differenza dei tempi, come una somma di distribuzioni uniformi è triangolare ( vedere gli esempi a proposito del limite centrale [ par. 6.3 ], con valore medio $1500\, s$ e valori estremi pari a 1440 e 1560 $s$. Dalla condiziona di normalizzazione risulta che l'altezza del triangolo è pari a $1/60 \, s^{-1}$. Con semplici argomentazioni geometriche si trova che il $68.3\,\%$ dell'area è nell'intervallo $T=1500 \pm 26$. Calcolando i valori dalori di $v$ in corrispondenza di questi limiti si trova:
      $$v = 3.333^{+0.060}_{-0.057}\, m/s\,.$$
      Essenzialmente, il conto esatto e quello ottenuto con la propagazione delle varianze forniscono lo stesso risultato già in questo caso ancora lontano dall'approssimazione normale delle distribuzioni dei valori veri. Bisogna essere più prudenti se si è interessati a livelli di confidenza più elevati, dove le code delle distribuzioni diventano cruciali nel calcolo.

21. • $T=99.54\pm 0.28\, ns$, da cui $v = 30.139 \pm 0.085\, cm/ns$, ovvero $\beta = 1.0053\pm 0.0028$, da cui risulterebbe che al $95\,\%$ C.L. $\beta > 1.0007$, cioè si tratterebbe di un tachione ( ipotetica particella con velocità maggiore di quella della luce ).
      Se invece si assume valida la teoria della relatività ristretta il massimo valore di $\beta$ vale 1. Quindi si ottiene la distribuzione del valore vero di $\beta$ a partire da quello misurato utilizzando il teorema di Bayes [ par. 9.2, 9.3 ] con $f_\circ(\beta) = k$, con $\beta \le 1$ ( vedi anche il problema nr. ** sulla massa del neutrino ):
      

      $$f(\beta) = \frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot 0.0028}e^{\frac{(\beta- 1.0053)^2... ...2\pi}\cdot 0.0028}e^{\frac{(\beta- 1.0053)^2}{2\cdot 0.0028^2}} \cdot k d\beta}$$

      $$= \frac{1}{0.0290} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot 0.0028}e^{\frac{(\beta-1.0053)^2} {2\cdot 0.0028^2}} \hspace{1.0 cm}(0 \le \beta \le 1 )$$

      $$F(\beta = 1) = 1$$

      $$F(\beta_\circ = 0.9970) = 0.05.$$

      
      
      Quindi al $95\,\%$ C.L. $\beta > 0.9970$.
      

22. • 1. La tolleranza ha un significato di errore massimo. Nel caso in esame il costruttore garantisce che (praticamente) tutti i resistori abbiano un valore di resistenza compreso fra 99 e 101 $\Omega$, non soltanto all'uscita dalla fabbrica ( quindi tenendo conto delle diverse macchine, materie prime e condizioni di lavoro ) ma anche dopo molto tempo, in certi intervalli di temperature e di umidità, e dopo essere stati sottoposti a saldature. Una striscia di resistori ha pertanto variabilità intorno al valore medio del campione molto più piccola dei limiti di tolleranza. Se i valori di resistenza avessero avuto una distribuzione uniforme^12.14 si sarebbe ottenuto una deviazione standard di $0.58\, \Omega$.
      2. Chiamiamo $R_1$ e $R_2$ le serie di 10 resistori e consideriamo la differenza di potenziale ai capi di $R_2$:
         $$V_{out} = V_{in}\frac{R_2}{R_1+R_2} = V_{in}\frac{1}{1+ \frac{R_1}{R_2}} = V_{in}\cdot\pi,$$
         dove abbiamo indicato con $\pi$ il rapporto $R_2/(R_1+R_2)$. Dalla propagazione delle incertezze: $R_1=R_2= 999.55\pm 0.51 \Omega$ ( $\pm 0.05\,\%$ ); $R_1/R_2 = 1.00000\pm 0.00072$; $\pi = 0.50000\pm 0.00036$ ( $0.072\,\%$).
         L'incertezza relativa della tensione ai capi di $R_2$, dominata dall'incertezza su $V_{in}$, è pari all'1.2 per mille.
23. • 1. rapporto di concentrazione di 0.001: il secondo procedimento è da preferire in quanto fornisce una precisione dello $0.2\,\%$, contro lo $0.7\,\%$ del primo;
      2. rapporto di concentrazione di 0.1: il primo procedimento è il più preciso ( $0.13\,\%$ ). Seguono il secondo ( $0.22\,\%$ ) e il quarto ( $0.23\,\%$ ). Il meno preciso è il terzo con lo $0.73\,\%$.

24. • $a = (6.72\pm0.39)\cdot 10^{-4}\, cont\cdot g^{-1}\cdot s^{-1}$.

25. • 
      

      $$\sigma^2_A + \sigma^2_B = (62.5\pm 2.0) \cdot 10^{3}\, ps^2$$

      $$\sigma^2_A + \sigma^2_C = (87.0\pm 2.8) \cdot 10^{3}\, ps^2$$

      $$\sigma^2_B + \sigma^2_C = (104.3\pm 3.3) \cdot 10^{3}\, ps^2\,,$$

      
      
      da cui:
      

      $$\sigma^2_A = (22.6 \pm 4.8) \cdot 10^{3}\, ps$$

      $$\sigma^2_B = (39.9 \pm 4.8) \cdot 10^{3}\, ps$$

      $$\sigma^2_C = (64.4 \pm 4.8) \cdot 10^{3}\, ps$$

      $$\sigma_A = ( 150 \pm 16 )\, ps$$

      $$\sigma_B = ( 200 \pm 12 )\, ps$$

      $$\sigma_C = ( 254 \pm 9 )\, ps$$