Proprietà di media e varianza

Innanzitutto verifichiamo le proprietà di media e varianza trovate dalle analogie meccaniche, seguendo lo stesso ordine dei punti del paragrafo precedente.

1. La somma dei quadrati degli scarti rispetto al generico punto $x$ è pari a $\sum_i(x_i-x)^2$. Dalla condizione di minimo
   

   $$\frac{d}{dx}\sum_i(x_i-x)^2 =$$ 0 (5.21)

   $$2\sum_i x_i - 2Nx = 0\,,$$ (5.22)

   
   
   da cui segue che $x=\sum_i x_i/N = \overline{x}$.
2. Se $x^\prime_i = x_i + c$, allora la nuova media sarà
   

   $$\overline{x^\prime} = \frac{1}{N}\sum_i x^\prime_i = \frac{1}{N}\sum_i (x_i + c)$$ (5.23)

   $$= \overline{x} + c\,.$$ (5.24)

   
   

3. Analogalmente per la varianza otteniamo

   $$\sigma^2(X^\prime) = \frac{1}{N}\sum_i\left( x_i + c - (\overline{x} + c)\right)^2 = \sigma^2(X)\,.$$ (5.25)

   
   

4. In modo analogo, è semplice dimostrare le proprietà di media e deviazione standard per un cambiamento di scala e viene lasciato come esercizio;
5. Infine, la proprietà Var$(X)=\overline{x^2}-\overline{x}^2$ sarà ripresa nel prossimo paragrafo.

In generale si ha quindi:

$$\overline{a x + c} = a\,\overline{x} + c$$ (5.26)

$$\sigma^2(a X + c) = a^2\sigma^2(X)$$ (5.27)

$$\sigma(a X + c) = \vert a\vert\, \sigma(X)\,.$$ (5.28)

Queste proprietà formali possono essere utili nel fare i conti. Infatti:

• se si deve calcolare media e deviazione standard di valori in cui variano soltanto le ultime cifre (ad esempio: 102.3, 104.8, 111.3, 105.5) è molto più rapido e sicuro considerare solo le cifre fluttuanti (nell'esempio riportato sottraendo 100) e aggiungere la parte costante alla fine sulla sola media;
• se una grandezza è ottenuta da un'altra mediante una trasformazione lineare (ad esempio la conversione da tensione a temperatura di una termocoppia) e sono note media e deviazione standard di una delle grandezze si ottengono i valori relativi all'altra senza dover rianalizzare i singoli valori di temperatura.