Valutazione pratica della deviazione standard

Per quanto riguarda il calcolo della deviazione standard, la sua definizione potrebbe far supporre che bisognerebbe trovare prima la media, poi calcolare gli $N$ scarti $d_i$, farne il quadrato, e così via. Questa operazione è chiaramente lunga e macchinosa e, anche se effettuata con un calcolatore, richiederebbe di archiviare in memoria tutti i valori di $x_i$ per poterli utilizzare nel calcolo degli scarti. In realtà è possibile utilizzare una procedura più snella utilizzando la proprietà del punto 5 del paragrafo 5.5, che ridimostriamo come esercizio:

$$\sigma^2(X) = \frac{1}{N}\sum_i(x_i-\overline{x})^2$$ (5.29)

$$= \frac{1}{N}\sum_i\left(x_i^2 -2\overline{x}x_i +\overline{x}^2\right)$$ (5.30)

$$= \frac{1}{N}\left( \sum_i x_i^2 - 2\overline{x}\sum_i x_i + N \overline{x}^2 \right)$$ (5.31)

$$= \frac{\sum_i x_i^2}{N} - 2\overline{x}^2 + \overline{x}^2$$ (5.32)

$$= \overline{x^2} - \overline{x}^2\,,$$ (5.33)

dove è stata indicata con $\overline{x^2} = \sum_i x_i^2/N$ la media dei quadrati. Quindi si è trovato che ``la varianza è pari alla media dei quadrati meno il quadrato della media''. Ricordandosi che il peso statistico dell'$i$-mo evento è pari a $w_i=1/N$ si vede come la quantità $\frac{\sum_i x_i^2}{N}=\sum_i w_ix_i^2$ è pari al momento di inerzia della distribuzione rispetto all'origine delle ascisse, come era già stato discusso nel paragrafo 5.5

È quindi preferibile calcolare, contemporaneamente a $\sum_i x_i$ anche $\sum_i x_i^2$ e dalle (5.33) ottenere media e varianza. Questa è la tecnica utilizzata anche nei programmi al calcolatore e nelle calcolatrici tascabili con funzioni statistiche. In queste ultime appositi tasti, generalmente contrassegnati da $\sum x$ e $\sum x^2$, permettono di leggere il valore raggiunto dopo che è stato inserito l'$i$-mo dato. Queste funzioni possono tornare utili per calcolare valori parziali e totali di media e deviazione standard di una lunga serie di misure senza dover inserire di nuovo tutti i numeri. Infatti le sommatorie parziali possono essere annotate e sommate fra di loro per combinare vari gruppi di dati. Questo è particolarmente importante quando si ha una lunga serie di valori: è preferibile annotare di tanto in tanto i risultati parziali in modo da non dover ricominciare da capo se si commette un errore.

Tabella: Calcolo dettagliato di medie e varianze dai dati di conteggio per 3 secondi (tabella 4.1).

$i$	$N$	$\sum x$	$\sum x^2$	$\overline{x}$	$\overline{x^2}$	$\sigma$
1-50	50	24	42	0.48	0.84	0.85
51-100	50	36	60	0.72	1.20	0.83
1-100	100	60	102	0.60	1.02	0.81

Come esempio consideriamo i dati del contatore per 3 secondi e valutiamo media e deviazione standard della distribuzione e delle due distribuzioni formate dividendo i dati in due campioni. I risultati sono in tabella 5.2. Per l'intero campione svolgiamo in dettaglio i conti

$$\sum x \equiv \sum_k n_kx_k = 56\cdot 0 + 32\cdot 1 + 9\cdot 2 + 2\cdot 3 + 1\cdot 4 = 60$$

$$\sum x^2 \equiv \sum_k n_kx_k^2= 56\cdot 0 + 32\cdot 1 + 9\cdot 4 + 2\cdot 9 + 1\cdot 16 =102$$

$$\overline{x} = \frac{\sum x}{N} = 0.60$$

$$\overline{x^2} = \frac{\sum x^2}{N} = 1.02$$

$$\sigma^2 = 1.02 - 0.60^2 = 0.66\,.$$ (5.34)